Tekst źródłowy strony Logika Algorytmiczna

<p style="text-align: right;"><small>''Felix qui potuit rerum cognoscere causas'' </small> </p>
== Wprowadzenie ==
Logika algorytmiczna AL jest  ''rachunkiem logicznym''.  Nie jest to byle jaki system logiczny. Stworzony został przez nas  jako narzedzie pomocne i niezbędne w pracy nad oprogramowaniem.<br />
Rachunek programów AL umożliwia:
# Wyrażenie własności programu przez odpowiednio napisaną formułę języka systemu AL [[Wyrażalność semantycznych własności programów]]
# Przeprowadzanie dowodów formuł wyrażających ważne semantyczne własności programów, [[Przykłady dowodów]]. 
# Podanie aksjomatów dla wielu struktur danych.  Aksjomaty takie wykluczają struktury niechciane, czy wręcz struktury patologiczne.[[Aksjomaty struktur]]
# Specyfikację oprogramowania, [[SpecVer]]
# Weryfikację oprogramowania względem ustalonej specyfikacji.
# Aksjomatyczny opis semantyki danego języka programowania.[[Aksjomatyczna definicja języka programowania]]
# i wiele innych rzeczy.
[[Plik:4logiki.jpg|thumb|center |750px| Rys. 1  Cztery systemy logiczne ]]
Powyższy rysunek 1 ilustruje relacje zachodzące pomiędzy tymi czterema rachunkami logicznymi. Strzałki wskazują na zachodzenie następującej relacji <math>\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}'</math> pomiędzy dwoma rachunkami logicznymi <math>\mathcal{L}</math> i <math>\mathcal{L}'</math>: ''Każda tautologia'' <math>\alpha</math> ''rachunku'' <math>\mathcal{L}</math> ''staje się tautologią rachunku ''<math>\mathcal{L}</math>' ''po zastąpieniu atomów formuły'' <math>\alpha</math> ''przez formuły rachunku'' <math>\mathcal{L}</math>. Nieco więcej informacji uzyskamy porównując zbiory wyrażeń poprawnie zbudowanych <math>\mathcal{WFF} </math>.  <br />
Języki tych rachunków logicznych różnią się. Każdy język jest parą <alfabet, zbiór wyrażen poprawnie zbudowanych>. Zwróćmy uwagę na to, że za każdym razem struktura zbioru wyrażeń poprawnie zbudowanych <math>\mathcal{WFF} </math> (''ang''. well formed formulas) jest inna. <br />
Oznaczenia przyjete na rysunku: <math>\mathcal{L}</math> - język, <math>\mathcal{A}</math> - alfabet, <math>\mathcal{T}</math> - zbiór termów (wyrażeń arytmetycznych, obiektowych,...), <math>\mathcal{F}</math> - zbiór formuł, <math>\mathcal{P}</math> - zbiór programów.
[[Plik:AxiomPL.jpg|thumb|750px| Rys. 2  Aksjomaty rachunku zdań ]]
[[Plik:axiomsFOL-AL.jpg|thumb |750px|  Rys. 3  Aksjomaty rachunku predykatów(Ax12 i Ax13) i rachunku programów ]]
[[Plik:inferenceRules.jpg| thumb  |750px| Rys. 4 Reguły wnioskowania ]]
Zbiór formuł logiki algorytmicznej zawiera w sobie wszystkie formuły pierwszego rzędu i ponadto, jest zamknięty ze względu na poprzedzanie formuły programem. Jeśli <math>\alpha</math> jest formułą i <math>K</math> jest programem to wyrazenie postaci <math>K\alpha</math> jest formułą logiki algorytmicznej, krócej, formułą algorytmiczna.<br />
Jak takiej formule <math>K\alpha</math> przypisać wartość logiczną prawda lub fałsz?
[[Plik:Kalfa.jpg |thumb|left|300px|Rys. 5  Wyznaczanie wartośći formuły <math>K\alpha</math> ]]
Rysunek 5 powinien wszystko wyjaśnić.Pozostaje jednak przypadek gdy obliczenie programu K nie daje wyniku, z powodu zapętlenia się programu lub innego błędu. Oczywiście nie możemy wtedy twierdzić, że ''dla danych v, obliczenie programu K kończy się pomyślnie i wyniki spełniają warunek <math>\alpha</math>''. A więc w tym przypadku wartościa formuły <math>K\alpha</math> jest fałsz.<br />

O logice algorytmicznej możemy też powiedzieć, że jest [[rachunek programów|''rachunkiem programów'']].   Język logiki algorytmicznej zawiera programy i formuły algorytmiczne. '''Ważne''' jest to, że ''każda semantyczna własność programów np. poprawność, równowazność, kończenie obliczeń lub przeciwnie zapętlanie, ... może być wyrażona przez odpowiednią formułę''. Pozwala to zamienić zadanie wykazania, że pewien program  <math>P</math> posiada pewną własnośc semantyczną <math>S</math> na zadanie udowodnić formułę <math>\beta</math> należąca do języka logiki algorytmicznej. <br />'''Przykład''' <br />
Własność: ''Dla każdych danych <math>v</math>, jeśli  program <math>K</math> rozpoczyna obliczenia z danymi spełniającymi warunek <math>\alpha</math> to jego obliczenie zakończy się (nie będzie zapętlenia, ani przerwania obliczeń) i jego wyniki spełniają warunek <math>\beta</math>'', jest wyrażana formułą <math>\alpha \rightarrow K\beta</math>. Nie musimy więc podejmować trudu testowania czy dla kazdych danych obliczenie programu K będzie skończone i ... <br />


Formuły tworzą algebrę z działaniami: konkatenacji, alternatywy, negacji i implikacji oraz z działaniami nieskończonymi tj. kwantyfikatorami, ponadto programy są modalnościami. Programy też tworzą algebrę: działaniami tej algebry są iteracja, rozgałęzienie i złożenie programów. Mamy więc do czynienia ze splotem dwu algebr. Możemy go nazwać rachunkiem programów.  Zadaniem logiki algorytmicznej jest poszukiwanie ''praw rachunku programów''. 

Celem jest zebranie praw i reguł wnioskowania, które umożliwią analizę algorytmów i wydawanie opinii o ich własnościach semantycznych, bez wykonywania obliczeń, na podstawie samego tekstu algorytmu i aksjomatów struktury danych w jakiej dany program ma byc interpretowany.

'''Przykład'''
Rozpatrzmy prosty program
{| class="wikitable"
|-
|<small>    (* Dane:  x>0  i  y>0  liczby naturalne *)
    '''Deklaracje:'''  typ(x, y, n, m, r, q, max)='''N''' &  typ(n_mniejsze)=Boolean 
    
    n:=x; m:=y;
    '''while''' n ≠ m '''do'''
       '''''Oznaczenie''''' niech l=max(n,m)
       r:=0; 
       '''while''' r ≠n '''and''' r ≠m '''do'''  r:=r+1  '''od'''; 
       '''if''' r=n '''then''' n_miejsze:=true; max:=m '''else''' n_mniejsze:=false; max:=n '''fi'''; 
       '''''Stwierdzenie''''' (n<m & m=max(n,m) lub m<n & n=max(n,m))
       q:=0; 
       '''while''' r≠max  '''do'''  r:= r+1; q:=q+1  '''od'''; 
       '''''Stwierdzenie''''' q = |m-n| & (1 ≤ q < max(n,m))& r=max(n,m)
       '''if''' n_mniejsze '''then''' m:=q '''else''' n := q '''fi''' 
       '''''Stwierdzenie''''' max(n,m) <  l
   '''od''' ( wynik = n) 
(* Wynik:  nwd(x,y)   *)</small>
|}

Co robi ten program? Czy to jest pytanie dobrze postawione?
Czy obliczenie tego programu jest skończone dla każdych danych <math>n</math> i <math>m</math>?
Czym są te dane? Jakie znaczenie mają operacje - i + oraz stała 1? Jakie znaczenie ma predykat <?

Wiele osób powie,że przecież to proste. Powyższy program oblicza największy wspólny dzielnik liczb naturalnych <math>xP</math> i <math>y</math>. No tak, ale skąd wiesz, że środowisko w którym wykonujesz ten program nie jest podejrzane? Na kolejnej stronie możesz zobaczyć klasę która implementuje operacje dodawania liczb naturalnych i relację równości w niestandardowy sposób. Powyższy program w otoczeniu tej klasy zachowuje się niestandardowo. Po pierwsze, obliczenia tego programu sa nieskończone dla pewnych danych. Powiesz mi, ta klasa nie spełnia aksjomatów liczb naturalnych? Otóż '''spełnia'''. Jakie więc aksjomaty należy wziąć pod uwagę i o co mamy pytać?   

Zanim zaczniesz analizować działanie programu powinieneś zdać sobie sprawę z kilku rzeczy:
# Program zachowuje się różnie w różnych otoczeniach. Czym jest otoczenie? To zależy, może to być pierwotny typ danych np. integer w wielu językach programowania lub struktura danych opisana za pomocą pewnej klasy.
# Podczas analizy powinniśmy rozpatrywać program <math>P</math> w parze z jego otoczeniem <math>E</math>. Podczas analizy nie wystarczy nam nazwa otoczenia, ani sygnatura nazywana przez programistów interfejsem (ang, ''interface'').
# W procesie analizy musimy korzystać z własności otoczenia np. z przemienności i łączności dodawania.
# Musimy też sobie zadawać sprawę, że wielu podstawowych własności nie da się wyrazić formułami pierwszego rzędu.
# '''Własności algorytmiczne naszych programów wynikają z własności algorytmicznych otoczenia.'''<br />

Zechciej przejść na stronę [[Euklides]] by poznać nasze argumenty.

== Program logiki algorytmicznej ==
Zadaniem logiki algorytmicznej jest dostarczenie narzędzi do analizowania semantycznych własności programów takich jak: własność stopu, poprawność programu, etc.
W języku logiki algorytmicznej znajdujemy trzy zbiory: zbiór formuł, zbiór wyrażeń (zbiór termów) i zbiór programów (zbiór algorytmów).
'''Uwaga''' W języku logiki zdaniowej (rachunku zdań) rozważany jest jeden tylko zbiór wyrażeń poprawnie zbudowanych, jest to zbiór formuł (zdaniowych). Formuły stanowią najmniejszy zbiór napisów zawierający zbiór zmiennych zdaniowych i zamknięty ze względu na operatory logiczne.
W jeżyku logiki pierwszego rzędu zb→ór wyrażen poprawnie zbudowanych jest suma dwu rozłącznych zbiorów: zbioru termów(inaczej zbiór wyrażen nazwowych) i zbioru formuł. W rachunku programów (czyli logice algorytmicznej) w naturalny sposób pojaia się zbiór algorytmów. '''koniec uwagi''' 
Znaczeniem programu <math>P</math> jest funkcja ze zbioru <math>W</math> wartościowań zmiennych w ten sam zbiór. Zazwyczaj funkcję tę określa się przy pomocy pojęcia [[obliczenia programu]].

== Zastosowania ==
Stosując logikę algorytmiczną czyli rachunek programów potrafimy odpowiedziec twierdząco na nastepujące pytania:
# Czy można podać aksjomaty i reguły wnioskowania, które opiszą semantykę operacyjną języka programowania?
# Czy (i jakie) własności struktur danych (systemów algebraicznych) są wyrażalne w języku logiki algorytmicznej?
# Czy (i jakie) własności programów są wyrażalne formułami algorytmicznymi?<br />

Ad 2. W matematyce rozważa się wiele własności ważnych struktur algebraicznych, których nie można wyrazić w języku pierwszego rzędu. Większość z nich może być wyrażona przy pomocy formuł algorytmicznych <br />

* bycie liczbą naturalną,
* aksjomat Archimedesa
* aksjomat ciał charakterystyki zero
* aksjomat grup torsyjnych
* aksjomat grup cyklicznych
i in.<br />
Dla informatyków niezwykle ważny jest fakt, że niemal wszystkie napotykane w programach struktury danych mogą być scharakteryzowane przy pomocy formuł algorytmicznych
* s jest stosem (skończonym)
* q jest kolejką FIFO skończoną
* s jest drzewem binarnym
* d jest drzewem binarnych poszukiwań
* q jest kolejką priorytetową
* d jest strukturą słownika (ang. dictionary)
* k jest kopcem
itd.
== Inne logiki programów ==
Możesz się zapytać jak się ma rachunek programów (tj. logika algorytmiczna) do innych logik programów : np. rachunek Floyda, logika Hoare'a, rachunek najsłabszego warunku wstępnego Dijkstry, logiki dynamicznaj, etc.?

[[calculus of Floyd|rachunek  Floyda]]<br />

[[logic of Hoare|logika Hoare'a]]<br />

calculus of weakest precondition of Dijkstra<br />

[[dynamic logic]]<br />

== Uwagi historyczne ==
Algorytmy pojawiły sie kilka tysięcy lat temu. W Babilonie, Egipcie i Grecji.<br />


W czasach nowożytnych studia nad algorytmami podjęli Goedel, Turing, Church, Markov, Kołmogorov i wielu innych. Szkoda, że Tarski nie rozszerzył swych badań nad semantyką na funkcje obliczalne. Szkoda, że studia funkcji obliczalnych skupiły się na samych funkcjach, zaniedbując aspekt językowy. Prawie nie zajmowano się językiem służcym do definiowania funkcji rekurencyjnych. Alonzo Curch był chyba wyjatkiem? D. Kleene był blisko - jego definicja operatora minimum ograniczonego to przeciez petla FOR, a operacja minimum efektywnego to pętla WHILE. Warto pamietac twierdzenie S. Kleene z r. 1942 o tym, że zbiór funkcji obliczalnych jesli jest zamknięty ze względu na superpozycję i minimum efektywne  ( i zawiera kilka funkcji poczatkowych) to definiowanie funkcji obliczalnych przez rekursję prostą może być zastąpione przez operację minimum efektywnego.<br />


Po drugiej wojnie światowej gdy pojawiły się komputery (zwane wtedy maszynami matematycznymi), ich programy zapisywano w kodzie maszynowym lub (później) w assemblerze. Trudno było dostrzec struktury i prawidłowości. W maszynie von Neumanna wszystko jest ciągiem bitów - liczbą. Ale pamiętam odczyt Antoniego Mazurkiewicza (ok 1960 r.) i jego dowód poprawności algorytmu z jedną pętla. Algorytm miał obliczyć sumę liczb zapisanych w tablicy. Kod maszyny XYZ-1 był bardzo ubogi. Program wymagał pobrania instrukcji "''weź kolejną komórkę pamięci do Akumulatora''" do rejestru Akumulator, zwiększenia adresu i zapisaniu tak zmienionej instrukcji w pamięci rozkazów na swoim pierwotnym miejscu. Program był więc ciągiem słów binarnych - każde słowo można jednak interpretować dwoiście, jako liczbę lub jako instrukcję. Nie ma w tym żadnej widocznej struktury.<br />
 

Prekursorzy logiki algorytmicznej<br />
Janov - jego praca poprzedza zdaniową logikę dynamiczną. Przedmiotem analizy są schematy programów (zapisywane w bardzo specjalny sposób) i relacja równoważności schematów. Dzisiaj powiedzielibyśmy, że schemat programu jest grafem skończonym. Wierzchołkom grafu przyporządkowano albo zmienną programowa albo formułę zdaniowa. Praca Janova jest nie tylko trudno dostępna, ale przede wszystkim mało czytelna. W książce A.P. Ershova można znaleźć przystępną ekspozycję teorii Janova.<br />
Engeler(1967) - zauważył, że własność stopu programu można wyrazić jako formułę logiki <math>L_{\omega1\,\omega} </math>, a dokładniej jako nieskończoną alternatywę formuł otwartych. <br />
Warto też wspomnieć o pracach Glushkova dotyczących systemów algebr algorytmicznych i książkę Helmuta Thielego. <br />
''Rasiowa'' - w książce ''Mathematics of metamathematics''(1963) str. 218 sformułowała podstawową własność instrukcji przypisania. Niech <math> s </math> oznacza jakieś odwzorowanie <math> s\colon V \to T </math> gdzie <math> V </math> jest zbiorem zmiennych indywiduowych, a <math> T </math> jest zbiorem termów. Odwzorowanie <math> s </math> nazywa się podstawieniem. Jeśli <math> \tau </math> oznacza jakiś term to <math> s\,\tau </math> oznacza wyrażenie powstające z termu <math> \tau </math> przez równoczesne zastąpienie wszystkich wystąpień zmiennych indywiduowych <math> \tau </math> przez odpowiednie wartości odwzorowania <math> s </math>. Oznaczmy term <math> \tau </math> przez <math> \tau(x_1,\dots,x_n)</math> podkreślając, że zmienne <math> x_1,\dots,x_n </math> to są wszystkie zmienne występujące w termie <math> \tau </math>. Wynik równoczesnego podstawienia za zmienne <math> x_1,\dots,x_n </math> występujące w termie <math> \tau </math>, termów <math> s(x_1),\dots,s(x_n) </math>   <br /> oznaczmy <math> s\tau </math>. Mamy więc równość <math> s\tau(x_1,\dots,x_n)= \tau(s(x_1),\dots,s(x_n)) </math>. Można bez trudu udowodnić, że wynik jest tez termem. 
Przypomnijmy teraz ten element definicji pojęcia spełniania (Tarski): dla ustalonej interpretacji symboli funkcyjnych <math> R </math> i ustalonego wartościowania zmiennych <math> v </math>, term <math> \tau  </math> wyznacza funkcję ze zbioru wartościowań w zbiór wartoścowań.
Teraz możemy sformułować <br />
Niech <math> R </math> będzie dowolnie ustaloną interpretacją symboli funkcyjnych, niech <math> v </math> będzie dowolnym wartościowaniem zmiennych. Dla każdego podstawienia <math> s </math> i każdego termu <math> \tau </math> zachodzi równość 
<math> s\tau_R(v)=\tau_R(s_R(v))  </math><br />
Zauważmy, że w czasie pisania ksiązki ''Mathematics of metamathematics''(przed r. 1963) ani Rasiowa ani Sikorski nie mieli pojęcia o programowaniu. A jednak, gdy zapisać podstawienie <math> s </math> w trochę innej formie <math> \{x_1:=\tau_1 \& \dots \& x_n:=\tau_n \} </math> i zrozumieć, że wartościowanie zmiennych to to samo co stan pamięci, a interpretacja <math> R </math> to po prostu jednostka arytmetyczna komputera, to wszystko trafia na swoje miejsce.

== Bibliografia ==
Książki

# [AlgoLog] [[Media:Algorithmic_Logic.pdf | {{cytuj książkę |odn=tak| nazwisko = Mirkowska| imię = Grażyna | nazwisko2 = Salwicki | imię2 = Andrzej | tytuł = Algorithmic Logic | wydawca = PWN | miejsce = Warszawa | data = 1987 | strony = 345}}]] 
# [LogProg1] [[Media:LogikaAlgorytmiczna_1z2.pdf | {{cytuj książkę | odn=tak |imię2=Andrzej | nazwisko2=Salwicki | imię=Grażyna | nazwisko=Mirkowska| tytuł=Logika Algorytmiczna dla Programistów|wydawca=WNT | miejsce=Warszawa| data=1992|strony=294 }}]] cz.1
# [LogProg2] [[Media:LogikaAlgorytmiczna_2z2.pdf | {{cytuj książkę | odn=tak |imię2=Andrzej | nazwisko2=Salwicki | imię=Grażyna | nazwisko=Mirkowska| tytuł=Logika Algorytmiczna dla Programistów|wydawca=WNT | miejsce=Warszawa| data=1992|strony=294 }}]] cz.2
#[AL4software] [[Media:AlgoLogic.pdf| {{cytuj książkę | odn=tak |imię2=Andrzej | nazwisko2=Salwicki | imię=Grażyna | nazwisko=Mirkowska| tytuł=Algorithmic Logic for Software Construction and Verification|wydawca=Dąbrowa Research | miejsce=Dąbrowa Leśna| data=2014|strony=154 }}]]
# [CentrumBanachAL] [[ Media:bcp211.pdf  |{{Cytuj książkę |odn=tak| nazwisko = Banachowski | imię = Lech | tytuł = An introduction to Algorithmic Logic - Metamathematical Investigations of Theory of Programs | wydawca = PWN | miejsce = Warszawa | data = 1977 | seria = Banach Center Publications | strony = 7-99 | isbn = 123 | nazwisko2 = Kreczmar | imię2 = Antoni | nazwisko3 = Mirkowska | imię3 = Grażyna | nazwisko4 = Rasiowa | imię4 = Helena | nazwisko5 = Salwicki | imię5 = Andrzej | tom = 2 | tytuł tomu = Banach Center Publications  }}]]
# [HRAL]  {{Cytuj książkę | odn=tak | nazwisko= Rasiowa | imię=Helena | tytuł= Algorithmic Logic - Notes from Seminar  in Simon Fraser University | data=1975 | seria= Reports of Institute of Computer Science PAS | tom=281 | miejsce=Warsaw }}
# [AB]  {{Cytuj książkę | odn=tak | nazwisko= Biela | imię=Andrzej | tytuł= Algorithmic structural completeness and a retrieval system for proving theorems in algorithmic theories  | data=2000 | wydawca=Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego | tom=1901 | miejsce=Katowice | strony=122 | url=http://lem12.uksw.edu.pl/images/4/40/A-Biela.pdf }}
Artykuły (wybór)
# [GMP] [[Media:GMP1970.pdf | {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko = Góraj | imię = Anna | nazwisko2= Mirkowska | imię2 = Grazyna | nazwisko3 = Paluszkiewicz | imię3 = Anna| tytuł = On the notion of description of program | czasopismo = Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. Phys.| rok= 1970 |strony = 499 - 505 }}]]   
# [GM1971] {{cytuj pismo | odn=tak |nazwisko= Mirkowska | imię= Grażyna | tytuł = On Formalized Systems of Algorithmic Logic | czasopismo= Bull. Polish Academy Sciences, Ser. Math. Phys. |rok =1971 |tom = 19 | strony=421-428 |url=http://lem12.uksw.edu.pl/images/6/6f/On_Formalized-Mirk.pdf}}  
# [GM1] [[Media:MirkowskaI-1-17.pdf| {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Mirkowska | imię = Grazyna |  tytuł = Algorithmic logic and its applications in the theory of programs I | czasopismo = Fundamenta Informaticae| rok= 1977 |strony = 1-17 }} ]]
# [GM2] [[Media:Mirkowska-II-147-165.pdf| {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Mirkowska | imię = Grazyna |  tytuł = Algorithmic logic and its applications in the theory of programs II | czasopismo = Fundamenta Informaticae| rok= 1977 |strony = 147-165 }} ]]
# [AS1] [[Media:FormalizedAlgorithmicLanguages.pdf | {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Salwicki | imię = Andrzej |  tytuł = Formalized Algorithmic Languages | czasopismo = Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. Phys.| rok= 1970 |tom=18 |strony = 227-232 }} ]]
# [AS3] [[Media:CalculuswIterationQuantifiers.pdf | {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Salwicki | imię = Andrzej |  tytuł = On the predicate calculi with iteration quantifiers | czasopismo = Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. Phys.| rok= 1970 |tom=18 |strony = 279-285 }} ]]
# [LB1] [[Media:BanI-93-119.pdf| {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Banachowski | imię = Lech |  tytuł = Investigations of Properties of Programs by means of Extended Algorithmic Logic I | czasopismo = Fundamenta Informaticae| rok= 1977 |strony = 93-119 }} ]]
# [LB2] [[Media:Banachowski-II-167-193.pdf| {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Banachowski | imię = Lech |  tytuł = Investigations of Properties of Programs by means of Extended Algorithmic Logic II | czasopismo = Fundamenta Informaticae| rok= 1977 |strony = 167-193 }} ]]
# [LB3] [[Media:BanachowskiDataStruct.pdf| {{cytuj pismo | odn=tak | nazwisko= Banachowski | imię = Lech |  tytuł = An Axiomatic Approach to the Theory of Data Structures | czasopismo = Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. Phys. | rok= 1975 |strony = 315-323 }} ]]
# [AK1] [[Media:Kreczmar-Program-Fields.pdf| {{Cytuj pismo |odn=a | imię=Antoni | nazwisko=Kreczmar |tytuł=Programmability in Fields |czasopismo=Fundamenta Informaticae |strony=195-230 |rok=1977}}]]
# [AK2] [[Media:Kreczmar-Efficiency-problems.pdf| {{Cytuj pismo |odn=b | imię=Antoni | nazwisko=Kreczmar |tytuł=Effectivity problems of Algorithmic Logic |czasopismo=Fundamenta Informaticae |strony=19-32 |rok=1977}}]]
# [MSS2009] [[Media:Verifying-a-class.pdf  |{{cytuj pismo| odn=tak| nazwisko=Mirkowska| imię=Grażyna| nazwisko2=Salwicki| imię2=Andrzej| nazwisko3=Świda| imię3=Oskar| tytuł=Verifying a Class: combining Testing and Proving|czasopismo=Fundamenta Informaticae| strony= 305-324 |rok= 2009 }}]]
# [AS2017] [[Media:On-Euclids-algorithm-2018.pdf | {{Cytuj pismo| odn=nie| nazwisko=Salwicki| imię=Andrzej| tytuł=A new proof of Euclid's algorithm | czasopismo= }}]]
# [WWD1] [[ Media:WDnonprog.pdf |  {{Cytuj pismo | odn=nie| nazwisko= Dańko | imię=Wiktor | Nonprogrammable function defined by a procedure }} ]]

==Protokół rozbieżności==
Następujący tekst został złożony do druku
[[Media:On-Euclids-algorithm-2018.pdf | {{Cytuj pismo| odn=nie| nazwisko=Salwicki| imię=Andrzej| tytuł=A new proof of Euclid's algorithm | czasopismo= }}]] <br />
  
Pierwsza recenzja była rzeczowa, pomocna i jej sugestie zostały, z podziękowaniem, wykorzystane http://lem12.uksw.edu.pl/images/8/8c/1pierwszaRec.pdf. <br />

Drugi recenzent przedstawił następującą opinię http://lem12.uksw.edu.pl/images/0/0b/Second-report-08.pdf. <br />


Na to autor odpowiedział prosząc o referencje do zapowiadanych twierdzeń lub o przedstawienie dowodu. <br />


Oto protokół rozbieżności:
http://lem12.uksw.edu.pl/images/9/9a/DiscrepancyReport.pdf

==Pytania otwarte==
* Rozpatrzmy teorię algorytmiczną <math>Th_{2.5} = \langle L,C,A \rangle </math> gdzie
<math>L</math> - język, jest językiem struktury liczb naturalnych, algorytmicznym, <br />

<math>C</math> - operacja konskwencji jest wyznaczona przez zbiór aksjomatów i reguł wnioskowania logiki algorytmicznej (rachunku programów),<br />

<math>A</math> - zbiór aksjomatów, jest zbiorem wszystkich formuł pierwszego rzędu prawdziwych w standardowym modelu liczb naturalnych.<br />

Czy  formuła <math>\color{blue}\forall x\, \{y:=0;\, \mathbf{while}\ x\neq y\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{done}\}(x=y) </math> jest twierdzeniem tej teorii? 
--[[Użytkownik:AndrzejSalwicki|AndrzejSalwicki]] ([[Dyskusja użytkownika:AndrzejSalwicki|dyskusja]]) 15:34, 30 maj 2018 (CEST) 
* Czy teoria <math>Th_{2.5}</math> jest zupełna? 
  --[[Użytkownik:AndrzejSalwicki|AndrzejSalwicki]] ([[Dyskusja użytkownika:AndrzejSalwicki|dyskusja]]) 19:09, 31 maj 2018 (CEST)
* Według Harela, zob. Dynamic Logic,  każda formuła algorytmiczna prawdziwa w standardowym modelu arytmetyki powinna być twierdzeniem teorii <math>Th_{2.5}</math>  

* Czy teoria kontenerów (tj. słowników, dictionaries) bez aksjomatu algorytmicznego jest zupełna?


  
[[Category:Logika Algorytmiczna}}]]