Algorithmic theory of integers: Różnice pomiędzy wersjami

Z Lem
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
(Utworzono nową stronę "Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany '''integer''' (lub <math>Z</math>), razem z niepustym podzbiorem <math>N</math> (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma ope...")
 
 
(Nie pokazano 4 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
−
Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany '''integer''' (lub <math>Z</math>), razem z niepustym podzbiorem <math>N</math> (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma operacjami dwuargumentowymi dodawania i mnożenia, oznaczanymi przez <math>+</math> i <math>\cdot</math>, które spełniają następujące aksjomaty:  
+
Integer numbers form a set, usually denoted  '''integer''' (or <math>Z</math>). The set contains a non-empty subset  <math>N</math> (of non-negative integer numbers  ''aka'' natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted,  <math>+</math> i <math>\cdot</math>. These operations fulfill the following axioms:  
−
* (Przemienność) Dla każdej pary liczb całkowitych <math>a, b</math> zachodzą równości 
+
* (Commutativity) For every pair of integer numbers  <math>a, b</math> the following equalities hold
−
<math>a+b=b+a\qquad</math>  oraz <math>\qquad a\cdot b = b \cdot a</math>,  
+
<math>a+b=b+a\qquad</math>  and <math>\qquad a\cdot b = b \cdot a</math>,  
−
* (Łączność) Dla każdej trójki liczb całkowitych <math>a,b, c</math> zachodzą  równości
+
* (Associativity) For every triplet of integer numbers  <math>a,b, c</math> the following equalities hold
−
<math>(a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad</math>  oraz <math>\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)</math>,  
+
<math>(a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad</math>  and <math>\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)</math>,  
−
* (Rozdzielność) Dla każdej trójki liczb całkowitych zachodzi  równość
+
* (Distributivity) For every triplet of integer numbers the following equality holds
 
<math>(a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c</math>
 
<math>(a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c</math>
−
* (Jedności) Istnieją liczby całkowite 0 i 1 takie, że dla każdego  <math>a</math> zachodzi  równość
+
* (Units) There exist integer numbers  0 i 1 such that, for every  <math>a</math> the following equalities hold
−
<math>a+0=a\qquad </math>  oraz   <math>\qquad a\cdot 1= a</math>,
+
<math>a+0=a\qquad </math>  and   <math>\qquad a\cdot 1= a</math>,
−
* (Domknięcie w <math>N</math>) Jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami całkowitymi nieujemnymi to liczby <math>a+b</math> oraz <math>a\cdot b</math> też są liczbami całkowitymi, nieujemnymi,
+
* (Closure in  <math>N</math>) If <math>a</math> and <math>b</math> are non-negative integer numbers then numbers  <math>a+b</math> and <math>a\cdot b</math> are also non-negative integer numbers,
−
* (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math>, istnieje taka liczba całkowita <math>-a</math>, że zachodzi  równość
+
* (Additive inverse) For every integer number  <math>a</math>, exists integer number  <math>-a</math>, such that the following equality holds
 
<math> a+-a =0 </math>  
 
<math> a+-a =0 </math>  
−
* (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math> zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba <math>a</math> jest nieujemna, albo b) liczba <math>a</math> jest zerem <math>a=0</math> albo c) liczba <math>-a</math> jest nieujemna,  
+
* (Trichotomy) For every integer number  <math>a</math> exactly one of three relations holds: either a) number <math>a</math> is non-negative, or b) number <math>a</math> is zero <math>a=0</math> or c) number <math>-a</math> jis non-negative,  
−
* (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.<br />
+
* (Non-negative integers) The set of non-negative integers satisfies the axioms of natural numbers, it is the same set <math>N</math>. See [[Algorithmic_theory_of_natural _numbers]].<br />
−
* (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do <math>N</math>.
+
Note, axiom S of natural numbers is an  algorithmic formula.
−
c.d.n.
+
* (Ordering relation) a < b if and only if the number <math> b+-a </math> belongs to the set  <math>N</math>.

Aktualna wersja na dzień 12:02, 2 paź 2018

Integer numbers form a set, usually denoted integer (or [math]Z[/math]). The set contains a non-empty subset [math]N[/math] (of non-negative integer numbers aka natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted, [math]+[/math] i [math]\cdot[/math]. These operations fulfill the following axioms:

  • (Commutativity) For every pair of integer numbers [math]a, b[/math] the following equalities hold

[math]a+b=b+a\qquad[/math] and [math]\qquad a\cdot b = b \cdot a[/math],

  • (Associativity) For every triplet of integer numbers [math]a,b, c[/math] the following equalities hold

[math](a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad[/math] and [math]\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)[/math],

  • (Distributivity) For every triplet of integer numbers the following equality holds

[math](a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c[/math]

  • (Units) There exist integer numbers 0 i 1 such that, for every [math]a[/math] the following equalities hold

[math]a+0=a\qquad [/math] and [math]\qquad a\cdot 1= a[/math],

  • (Closure in [math]N[/math]) If [math]a[/math] and [math]b[/math] are non-negative integer numbers then numbers [math]a+b[/math] and [math]a\cdot b[/math] are also non-negative integer numbers,
  • (Additive inverse) For every integer number [math]a[/math], exists integer number [math]-a[/math], such that the following equality holds

[math] a+-a =0 [/math]

  • (Trichotomy) For every integer number [math]a[/math] exactly one of three relations holds: either a) number [math]a[/math] is non-negative, or b) number [math]a[/math] is zero [math]a=0[/math] or c) number [math]-a[/math] jis non-negative,
  • (Non-negative integers) The set of non-negative integers satisfies the axioms of natural numbers, it is the same set [math]N[/math]. See Algorithmic_theory_of_natural _numbers.

Note, axiom S of natural numbers is an algorithmic formula.

  • (Ordering relation) a < b if and only if the number [math] b+-a [/math] belongs to the set [math]N[/math].
Źródło „http://lem12.uksw.edu.pl/index.php?title=Algorithmic_theory_of_integers&oldid=2568”