Arytmetyka Algorytmiczna: Różnice pomiędzy wersjami
(→Na problem Collatza) |
(→Na problem Collatza) |
||
| Linia 43: | Linia 43: | ||
The newest version<br /> | The newest version<br /> | ||
| − | [[Media: | + | [[Media:DowodStopu.pdf]]<br /> |
Older versions<br /> | Older versions<br /> | ||
| + | |||
| + | [[Media:OnCollatzTheorem14Sep2018.pdf]]<br /> | ||
[[Media:OnCollatzTheorem13Sep2018.pdf]] | [[Media:OnCollatzTheorem13Sep2018.pdf]] | ||
Wersja z 21:22, 15 lis 2018
Jest to zalążek dłuższego tekstu.
Algorytmiczna teoria liczb naturalnych, w skrócie arytmetyka algorytmiczna, jest sformalizowaną teorią wyznaczoną przez trójkę [math]\langle \mathcal{L, C, A} \rangle[/math] gdzie
- - [math] \mathcal{L}[/math] jest językiem algorytmicznym. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, funktory: [math] +1, 0 [/math], predykat [math] = [/math] oraz operatory logiczne [math] \lor, \land, \implies. \neg [/math], funktory programotwórcze :=, while do od oraz zbiór symboli pomocniczych: nawiasy, przecinek etc.
- - [math] \mathcal{ C}[/math] jest operacją konsekwencji wyznaczoną przez aksjomaty i reguły wnioskowania logiki algorytmicznej oraz pojęcie dowodu. Operacja konsekwencji przyporzadkowuje każdemu zbiorowi Z formuł zbiór formuł posiadających dowód w oparciu o zbiór Z.
- - [math] \mathcal{A}[/math] jest to zbiór złożony z trzech formuł wyliczonych poniżej
Aksjomaty algorytmicznej teorii liczb naturalnych:
- (N1) [math]\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]
- (N2) [math]\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]
- (N3) [math]\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ m:=m+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]
Niektóre fakty
Operacje dodawania i mnożenia są programowalne
Algorytm Euklidesa
Jesteśmy szczęśliwi mogąc przedstawić nowy dowód poprawności algorytmu Euklidesa.
Zob. poniższy artykuł Media:On-Euclids-algorithm-2018.pdf.
W wielkim skrócie:
- Fakt Własność stopu algorytmu Euklidesa nie wynika z aksjomatów Peano, ponieważ algorytm zapętla się w modelu (niestandardowym) arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem.
- Twierdzenie Formuła stopu algorytmu Euklidesa jest twierdzeniem arytmetyki algorytmicznej.
Algorytmiczny aspekt ostatniego twierdzenia Fermata
- Pewien program PF4 ma obliczenie dowolnej długości (tj. zapetla sie).
- Pewien program PF5 zawsze zakończy swe obliczenia.
Oba te fakty sa konsekwencją ostatniego twierdzenia Fermata.
Na problem Collatza
[22 września 2018] Wszystkie wersje planowanego artykułu, zob. poniżej, obarczone są błędem.
The newest version
Older versions
Media:OnCollatzTheorem14Sep2018.pdf
Media:OnCollatzTheorem13Sep2018.pdf
Media:OnCollatzTheorem--12Sep2018.pdf
Media:OnCollatzTheorem12Sep2018.pdf
