SpecVer/IloczynSkalarny: Różnice pomiędzy wersjami

Z Lem
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
(→‎Dowód poprawności)
(→‎Dowód poprawności)
 
(Nie pokazano 31 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
 
== Algorytm ==
 
== Algorytm ==
 +
'''program''' Iloczyn_skalarny;
 +
: '''var''' n: integer,
 +
::s: real,
 +
::A, B: '''arrayof''' real;
 +
'''begin'''
 +
:(* pobierz wartość n i utwórz tablice A i B  *)
 +
:readln(n);
 +
:'''array''' A '''dim''' (1:n);
 +
:'''array''' A '''dim''' (1:n);
 +
: (* wypełnij tablice A oraz B np.*)
 +
:'''for''' i := 1 '''to''' n '''do''' read(A[i]);  readln(B[i]) '''od''';
 +
:(* --------------------------------- *)
 +
:s:=0;
 +
:'''for''' i := 1 '''to''' n '''do'''
 +
::s := s+ A[i]*B[i]
 +
:'''od''';
 +
:(* --------------------------------- *)
 +
:(* wydrukuj wynik *)
 +
:writeln(s)
 +
'''end'''
  
 
== Narzędzia ==
 
== Narzędzia ==
Linia 14: Linia 34:
 
<math>  \begin{array}{l}
 
<math>  \begin{array}{l}
 
(s1)\ \sum\limits_1^0 \omega(i) = 0 \\
 
(s1)\ \sum\limits_1^0 \omega(i) = 0 \\
−
(s2)\  \sum\limits_1^1 \omega(i) = \omega(i/1) \\
+
(s2)\  \sum\limits_1^1 \omega(i) = \omega(i/1)   \qquad \mbox{w wyrażeniu }\omega \mbox{ wszystkie wystąpienia zmiennej i zastąp liczbą 1}\\
−
(s3)\  \sum\limits_1^{n+1} \omega(i) = \sum\limits_1^{n} \omega(i) +\omega(i/n+1)
+
(s3)\  \sum\limits_1^{n+1} \omega(i) = \sum\limits_1^{n} \omega(i) +\omega(i/n+1) \qquad \mbox{w wyrażeniu }\omega \mbox{ wszystkie wystąpienia zmiennej i zastąp przez } n+1
 
\end{array} </math>
 
\end{array} </math>
 +
 +
i aksjomat instrukcji przypisania (schemat)
 +
 +
:::<math>\color{blue}\alpha(x/\tau)\equiv[x := \tau]\alpha  </math>
 +
 +
gdzie typy zmiennej <math>x</math> i wyrażenia <math>\tau</math> są zgodne, typ(x) = typ(<math>\tau</math>), wyrażenie <math>\alpha</math> jest formułą, a wyrażenie <math>\alpha(x/\tau)</math> powstaje z formuły <math>\alpha</math> przez równoczesne zastapienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej <math>x</math> przez wyrażenie  <math>\tau</math>.
  
 
== Dowód poprawności ==
 
== Dowód poprawności ==
−
'''Precondition''' <math>\alpha</math>: typ(A) jest arrayof real i typ(B) jest array of real i lower(A) = lower(B) i upper(A) = upper(B) i typ(i) jest integer i typ(s) jest real.
+
'''Precondition''' <math>\alpha</math>: typ(A) jest arrayof real i typ(B) jest array of real i lower(A) = lower(B) i upper(A) = upper(B) i typ(i) jest integer i typ(s) jest real. Czyli wielkości A i B są jednowymiarowymi tablicami liczb rzeczywistych o jednakowym rozmiarze upper(A)-lower(A)+1.
  
 
'''Postcondition''' <math>\beta</math>: <math>s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i</math>
 
'''Postcondition''' <math>\beta</math>: <math>s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i</math>
Linia 27: Linia 53:
 
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 
\begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)</math>
 
\begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
Dowód przebiega przez indukcję ze względu na długość  tablic tzn. wielkość ''upper(A)-lower(A)''.
 +
 +
(''Podstawa indukcji'') Gdy ''lower(A)=upper(A)'' to należy udowodnić
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
Wykorzystamy własność (f2)
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\  i\ :=\ lower(A);\\ s\ :=\ s+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
własność (s2)
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\  i\ :=\ lower(A);\\ s\ :=\ s+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)</math>
 +
 +
aksjomat instrukcji przypisania
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\  i\ :=\ lower(A);\\  \end{array}\right ] \left( s+A[i] * B[i] =A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)</math>
 +
 +
i jeszcze raz aksjomat instrukcji przypisania
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
  s\ :=\ 0 \right ] \left( s +A[lower(A)] * B[lower(A)]=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)</math>
 +
 +
kolejne zastosowanie aksjomatu instrukcji przypisania daje nam
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow 
 +
    \left( A[lower(A)] * B[lower(A)=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)</math>
 +
 +
formułę oczywiście prawdziwą.
 +
 +
Wszystkie kroki polegały na przejściu od formuły do formuły jej równoważnej. W ten sposób udowodniliśmy bazę indukcji.
 +
 +
(''Krok indukcji'') Załóżmy, że nasza formuła jest prawdziwa dla <math>n=upper(A)-lower(A)</math> i zbadajmy prawdziwość formuły dla ''n+1''.
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)+n+1\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
Teraz zastosujemy własność (f3)
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)+n\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od}; \\ i := lower(A)+n+1; \\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
Z założenia indukcyjnego wiemy, że po wykonaniu dwu pierwszych instrukcji spełniona jest asercja
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)+n\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od}; \\
 +
\left( \mathbf{Asercja }\ s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i  \right) \\ i := lower(A)+n+1; \\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
co pozwala nam zastąpić tę formułę, formułą jej równoważną
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
\begin{array}{l}
 +
i := lower(A)+n+1; \\ s\ :=\ \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i\right)+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
ponownie stosujemy aksjomat instrukcji przypisania
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow \left [
 +
s\ :=\ \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i\right)+A[lower(A)+n+1] * B[lower(A)+n+1] \right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
i jeszcze raz, by otrzymać 
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow  \left( \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i\right)+A[lower(A)+n+1] * B[lower(A)+n+1]=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
zastosujemy własność (s3) sumy
 +
 +
<math> \alpha \Rightarrow  \left( \sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1} A_i * B_i =\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)</math>
 +
 +
co kończy dowód.
  
 
== Uwagi końcowe ==
 
== Uwagi końcowe ==
 +
Powyższy dowód przeprowadziliśmy tak szczegółowo by czytelnik mógł sam udowodnić kilka lematów
 +
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>\left[\begin{array}{l}s:=0; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s+\omega(i)\ od  \end{array}  \right]\left(s=\sum\limits_{i=1}^{n}\ \omega(i)  \right)</math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>\left[\begin{array}{l}s:=1; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s*\omega(i)\ od  \end{array}  \right]\left(s=\prod\limits_{i=1}^{n}\ \omega(i)  \right)</math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>\left[\begin{array}{l}s:=false; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s\vee\alpha(i)\ od  \end{array}  \right]\left(s=\bigvee\limits_{i=1}^{n}\ \alpha(i)  \right)</math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>\left[\begin{array}{l}s:=true; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s\wedge\alpha(i)\ od  \end{array}  \right]\left(s=\bigwedge\limits_{i=1}^{n}\ \alpha(i)  \right)</math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::Jeśli dla każdego <math>1 \leq i\leq n,</math>  zachodzi <math>K(i)\alpha(i)</math> to <math>  \left[\begin{array}{l} for\ i:=0\ to\ n\ do\ K\ od  \end{array}  \right]\left( \forall_{i=1}^{n}\ \alpha(i)  \right)</math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
:::<math>\frac{\{ K(i)\alpha(i)\}_{1\leq i\leq n} }{  \left[\begin{array}{l} for\ i:=0\ to\ n\ do\ K\ od  \end{array}  \right]\left( \forall_{1 \leq i\leq n}\, \alpha(i)  \right)}</math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>  \left[\begin{array}{l} s\ :=+\infty; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s := min(s, \tau(i))\ od  \end{array}  \right]\left(s= min(\tau(1), \dots ,\tau(n))  \right) </math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>  \left[\begin{array}{l} s\ :=0;\ j:=0; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\\ \quad if \ \alpha(i)\ then \  j:= i; exit \ fi\\ od  \end{array}  \right]\ \left(\, j= (\mu i \leq n)  \{\alpha(i) \}  \right) </math>
 +
 +
'''Lemat'''
 +
 +
::<math>  \left[\begin{array}{l} i\ :=0; \\while\ \neg \alpha(i) do\\ \quad    i:= i+1\\ od;\\ j:=i  \end{array}  \right]\left(\, j= \mu i  \{\alpha(i) \}  \right) </math>

Aktualna wersja na dzień 13:58, 26 lis 2015

Algorytm

program Iloczyn_skalarny;

var n: integer,
s: real,
A, B: arrayof real;

begin

(* pobierz wartość n i utwórz tablice A i B *)
readln(n);
array A dim (1:n);
array A dim (1:n);
(* wypełnij tablice A oraz B np.*)
for i := 1 to n do read(A[i]); readln(B[i]) od;
(* --------------------------------- *)
s:=0;
for i := 1 to n do
s := s+ A[i]*B[i]
od;
(* --------------------------------- *)
(* wydrukuj wynik *)
writeln(s)

end

Narzędzia

W dowodzie wykorzystamy własności instrukcji for

[math] \begin{array}{l} (f1) \ \mathbf{for}\ i\ := \ 1\ \mathbf{to}\ 0\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \alpha \equiv \alpha \\ (f2)\ \mathbf{for}\ i\ :=\ n\ \mathbf{to}\ n\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \alpha \equiv \{i:=n\}\ \alpha \\ (f3)\ \mathbf{for}\ i\ :=\ 1\ \mathbf{to}\ n+1\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \alpha \equiv \{\mathbf{for}\ i\ :=\ 1\ \mathbf{to}\ n+1\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od};\ i:=n+1;\ K \} \ \alpha \end{array} [/math]

oraz własności sumy [math] \sum[/math]

[math] \begin{array}{l} (s1)\ \sum\limits_1^0 \omega(i) = 0 \\ (s2)\ \sum\limits_1^1 \omega(i) = \omega(i/1) \qquad \mbox{w wyrażeniu }\omega \mbox{ wszystkie wystąpienia zmiennej i zastąp liczbą 1}\\ (s3)\ \sum\limits_1^{n+1} \omega(i) = \sum\limits_1^{n} \omega(i) +\omega(i/n+1) \qquad \mbox{w wyrażeniu }\omega \mbox{ wszystkie wystąpienia zmiennej i zastąp przez } n+1 \end{array} [/math]

i aksjomat instrukcji przypisania (schemat)

[math]\color{blue}\alpha(x/\tau)\equiv[x := \tau]\alpha [/math]

gdzie typy zmiennej [math]x[/math] i wyrażenia [math]\tau[/math] są zgodne, typ(x) = typ([math]\tau[/math]), wyrażenie [math]\alpha[/math] jest formułą, a wyrażenie [math]\alpha(x/\tau)[/math] powstaje z formuły [math]\alpha[/math] przez równoczesne zastapienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej [math]x[/math] przez wyrażenie [math]\tau[/math].

Dowód poprawności

Precondition [math]\alpha[/math]: typ(A) jest arrayof real i typ(B) jest array of real i lower(A) = lower(B) i upper(A) = upper(B) i typ(i) jest integer i typ(s) jest real. Czyli wielkości A i B są jednowymiarowymi tablicami liczb rzeczywistych o jednakowym rozmiarze upper(A)-lower(A)+1.

Postcondition [math]\beta[/math]: [math]s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i[/math]

Należy udowodnić formułę

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)[/math]

Dowód przebiega przez indukcję ze względu na długość tablic tzn. wielkość upper(A)-lower(A).

(Podstawa indukcji) Gdy lower(A)=upper(A) to należy udowodnić

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)}A_i * B_i \right)[/math]

Wykorzystamy własność (f2)

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ i\ :=\ lower(A);\\ s\ :=\ s+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)[/math]

własność (s2)

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ i\ :=\ lower(A);\\ s\ :=\ s+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ i\ :=\ lower(A);\\ \end{array}\right ] \left( s+A[i] * B[i] =A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

i jeszcze raz aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ s\ :=\ 0 \right ] \left( s +A[lower(A)] * B[lower(A)]=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

kolejne zastosowanie aksjomatu instrukcji przypisania daje nam

[math] \alpha \Rightarrow \left( A[lower(A)] * B[lower(A)=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

formułę oczywiście prawdziwą.

Wszystkie kroki polegały na przejściu od formuły do formuły jej równoważnej. W ten sposób udowodniliśmy bazę indukcji.

(Krok indukcji) Załóżmy, że nasza formuła jest prawdziwa dla [math]n=upper(A)-lower(A)[/math] i zbadajmy prawdziwość formuły dla n+1.

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)+n+1\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)[/math]

Teraz zastosujemy własność (f3)

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)+n\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od}; \\ i := lower(A)+n+1; \\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)[/math]

Z założenia indukcyjnego wiemy, że po wykonaniu dwu pierwszych instrukcji spełniona jest asercja

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)+n\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od}; \\ \left( \mathbf{Asercja }\ s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i \right) \\ i := lower(A)+n+1; \\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

co pozwala nam zastąpić tę formułę, formułą jej równoważną

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} i := lower(A)+n+1; \\ s\ :=\ \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i\right)+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)[/math]

ponownie stosujemy aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ s\ :=\ \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i\right)+A[lower(A)+n+1] * B[lower(A)+n+1] \right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)[/math]

i jeszcze raz, by otrzymać

[math] \alpha \Rightarrow \left( \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n} A_i * B_i\right)+A[lower(A)+n+1] * B[lower(A)+n+1]=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)[/math]

zastosujemy własność (s3) sumy

[math] \alpha \Rightarrow \left( \sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1} A_i * B_i =\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)+n+1}A_i * B_i \right)[/math]

co kończy dowód.

Uwagi końcowe

Powyższy dowód przeprowadziliśmy tak szczegółowo by czytelnik mógł sam udowodnić kilka lematów


Lemat

[math]\left[\begin{array}{l}s:=0; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s+\omega(i)\ od \end{array} \right]\left(s=\sum\limits_{i=1}^{n}\ \omega(i) \right)[/math]

Lemat

[math]\left[\begin{array}{l}s:=1; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s*\omega(i)\ od \end{array} \right]\left(s=\prod\limits_{i=1}^{n}\ \omega(i) \right)[/math]

Lemat

[math]\left[\begin{array}{l}s:=false; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s\vee\alpha(i)\ od \end{array} \right]\left(s=\bigvee\limits_{i=1}^{n}\ \alpha(i) \right)[/math]

Lemat

[math]\left[\begin{array}{l}s:=true; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s :=\ s\wedge\alpha(i)\ od \end{array} \right]\left(s=\bigwedge\limits_{i=1}^{n}\ \alpha(i) \right)[/math]

Lemat

Jeśli dla każdego [math]1 \leq i\leq n,[/math] zachodzi [math]K(i)\alpha(i)[/math] to [math] \left[\begin{array}{l} for\ i:=0\ to\ n\ do\ K\ od \end{array} \right]\left( \forall_{i=1}^{n}\ \alpha(i) \right)[/math]

Lemat

[math]\frac{\{ K(i)\alpha(i)\}_{1\leq i\leq n} }{ \left[\begin{array}{l} for\ i:=0\ to\ n\ do\ K\ od \end{array} \right]\left( \forall_{1 \leq i\leq n}\, \alpha(i) \right)}[/math]

Lemat

[math] \left[\begin{array}{l} s\ :=+\infty; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\ s := min(s, \tau(i))\ od \end{array} \right]\left(s= min(\tau(1), \dots ,\tau(n)) \right) [/math]

Lemat

[math] \left[\begin{array}{l} s\ :=0;\ j:=0; \\for\ i:=0\ to\ n\ do\\ \quad if \ \alpha(i)\ then \ j:= i; exit \ fi\\ od \end{array} \right]\ \left(\, j= (\mu i \leq n) \{\alpha(i) \} \right) [/math]

Lemat

[math] \left[\begin{array}{l} i\ :=0; \\while\ \neg \alpha(i) do\\ \quad i:= i+1\\ od;\\ j:=i \end{array} \right]\left(\, j= \mu i \{\alpha(i) \} \right) [/math]
Źródło „http://lem12.uksw.edu.pl/index.php?title=SpecVer/IloczynSkalarny&oldid=2226”