Logika Algorytmiczna: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 13:02, 9 cze 2015

Felix qui potuit rerum cognoscere causas

Logika algorytmiczna jest jeszcze jednym, rachunkiem logicznym. Zbiór formuł logiki algorytmicznej zawiera w sobie wszystkie formuły pierwszego rzędu i ponadto, jest zamknięty ze względu na poprzedzanie formuły programem. Jeśli [math]\alpha[/math] jest formułą i [math]K[/math] jest programem to wyrazenie postaci [math]K\alpha[/math] jest formułą logiki algorytmicznej, krócej, formułą algorytmiczna.
O logice algorytmicznej możemy też powiedzieć, że jest rachunkiem programów. Język logiki algorytmicznej zawiera programy i formuły algorytmiczne. Ważne jest to, że każda semantyczna własność programów np. poprawność, równowazność, kończenie obliczeń lub przeciwnie zapętlanie, ... może być wyrażona przez odpowiednią formułę. Pozwala to zamienić zadanie wykazania, że pewien program [math]P[/math] posiada pewną własnośc semantyczną [math]S[/math] na zadanie udowodnić formułę [math]\beta[/math] należąca do języka logiki algorytmicznej.
Przykład
Własność: Dla każdych danych [math]v[/math], jeśli program [math]K[/math] rozpoczyna obliczenia z danymi spełniającymi warunek [math]\alpha[/math] to jego obliczenie zakończy się (nie będzie zapętlenia, ani przerwania obliczeń) i jego wyniki spełniają warunek [math]\beta[/math], jest wyrażana formułą [math]\alpha \rightarrow K\beta[/math]. Nie musimy więc podejmować trudu testowania czy dla kazdych danych obliczenie programu K będzie skończone i ...

Formuły tworzą algebrę z działaniami: konkatenacji, alternatywy, negacji i implikacji oraz z działaniami nieskończonymi tj. kwantyfikatorami, ponadto programy są modalnościami. Programy też tworzą algebrę: działaniami tej algebry są iteracja, rozgałęzienie i złożenie programów. Mamy więc do czynienia ze splotem dwu algebr. Możemy go nazwać rachunkiem programów. Zadaniem logiki algorytmicznej jest poszukiwanie praw rachunku programów.

Celem jest zebranie praw i reguł wnioskowania, które umożliwią analizę algorytmów i wydawanie opinii o ich własnościach semantycznych, bez wykonywania obliczeń, na podstawie samego tekstu algorytmu i aksjomatów struktury danych w jakiej dany program ma byc interpretowany.

Przykład Rozpatrzmy prosty program

   Deklaracje:  typ(x, y, n, m, r, q, max)=N &  typ(n_mniejsze)=Boolean 
   
   n:=x; m:=y;
   while n ≠ m do
      Oznaczenie niech l=max(n,m)
      r:=0; 
      while r ≠n and r ≠m do  r:=r+1  od; 
      if r=n then n_miejsze:=true; max:=m else n_mniejsze:=false; max:=n fi; 
      Stwierdzenie (n<m & m=max(n,m) lub m<n & n=max(n,m))
      q:=0; 
      while r≠max  do  r:= r+1; q:=q+1  od; 
      Stwierdzenie q = |m-n| & (1 ≤ q < max(n,m))& r=max(n,m)
      if n_mniejsze then m:=q else n := q fi 
      Stwierdzenie max(n,m) <  l
  od ( wynik = n) 

Co robi ten program? Czy to jest pytanie dobrze postawione? Czy obliczenie tego programu jest skończone dla każdych danych [math]n[/math] i [math]m[/math]? Czym są te dane? Jakie znaczenie mają operacje - i + oraz stała 1? Jakie znaczenie ma predykat <?

Wiele osób powie,że przecież to proste. Powyższy program oblicza największy wspólny dzielnik liczb naturalnych [math]xP[/math] i [math]y[/math]. No tak, ale skąd wiesz, że środowisko w którym wykonujesz ten program nie jest podejrzane? Na kolejnej stronie możesz zobaczyć klasę która implementuje operacje dodawania liczb naturalnych i relację równości w niestandardowy sposób. Powyższy program w otoczeniu tej klasy zachowuje się niestandardowo. Po pierwsze, obliczenia tego programu sa nieskończone dla pewnych danych. Powiesz mi, ta klasa nie spełnia aksjomatów liczb naturalnych? Otóż spełnia. Jakie więc aksjomaty należy wziąć pod uwagę i o co mamy pytać?

Zanim zaczniesz analizować działanie programu powinieneś zdać sobie sprawę z kilku rzeczy:

1. Program zachowuje się różnie w różnych otoczeniach. Czym jest otoczenie? To zależy, może to być pierwotny typ danych np. integer w wielu językach programowania lub struktura danych opisana za pomocą pewnej klasy.
2. Podczas analizy powinniśmy rozpatrywać program [math]P[/math] w parze z jego otoczeniem [math]E[/math]. Podczas analizy nie wystarczy nam nazwa otoczenia, ani sygnatura nazywana przez programistów interfejsem (ang, interface).
3. W procesie analizy musimy korzystać z własności otoczenia np. z przemienności i łączności dodawania.
4. Musimy też sobie zadawać sprawę, że wielu podstawowych własności nie da się wyrazić formułami pierwszego rzędu.
5. Własności algorytmiczne naszych programów wynikają z własności algorytmicznych otoczenia.
   

Zechciej przejść na stronę Euklides by poznać nasze argumenty.

Program logiki algorytmicznej

Zadaniem logiki algorytmicznej jest dostarczenie narzędzi do analizowania semantycznych własności programów takich jak: własność stopu, poprawność programu, etc. Znaczeniem programu [math]P[/math] jest funkcja ze zbioru [math]W[/math] wartościowań zmiennych w ten sam zbiór. Zazwyczaj funkcję tę określa się przy pomocy pojęcia obliczenia programu.

Bibliografia

Książki

1. [CentrumBanachAL] Lech Banachowski, Antoni Kreczmar, Grażyna Mirkowska, Helena Rasiowa, Andrzej Salwicki: An introduction to Algorithmic Logic - Metamathematical Investigations of Theory of Programs. T. 2: Banach Center Publications. Warszawa: PWN, 1977, s. 7-99, seria: Banach Center Publications. ISBN 123.
2. [AlgoLog] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Algorithmic Logic. Warszawa: PWN, 1987, s. 345.
3. [LogProg] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Logika Algorytmiczna dla Programistów. Warszawa: WNT, 1992, s. 294. cz.1
4. [LogProg] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Logika Algorytmiczna dla Programistów. Warszawa: WNT, 1992, s. 294. cz.1
5. [AL4software] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Algorithmic Logic for Software Construction and Verification. Dąbrowa Leśna: Dąbrowa Research, 2014, s. 154.

Artykuły

1. [GMP] Anna Góraj, Grazyna Mirkowska, Anna Paluszkiewicz. On the notion of description of program. „Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. Phys.”, s. 499 - 505, 1970.