Analiza algorytmu Euklidesa: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 22:34, 16 lut 2013

Należy udowodnić że algorytm zawsze kończy obliczenia.

Zacznijmy od obserwacji, że algorytm Euklidesa w niestandardowym modelu liczb naturalnych może nie zakończyć obliczeń.

Na jakich podstawach ma się oprzeć dowód własności stop algorytmu?

Algorytmiczne aksjomaty liczb naturalnych:

(N1) [math]\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]

(N2) [math]\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]

(N3) [math]\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]

Możemy zdefiniować relacje mniejszości

oraz operację odejmowania

Definicja

Jeśli [math]\color{blue} y \lt x [/math] to operacja odejmowania jest określona tak

[math]\color{blue} x \stackrel{.}{-}y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=y;\ q:=0; \\ \mathbf{while}\ r \neq x \ \mathbf{do} \quad r:=r+1;\ q:=q+1 \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (wynik = q) [/math]

i operację dodawania

Definicja Operacja dodawania jest określona tak

[math]\color{blue} x + y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=x;\ q:=0; \\ \mathbf{while}\ q \neq y \ \mathbf{do} \quad r:=r+1;\ q:=q+1 \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (wynik = r) [/math]

Lemat (aksjomat Archimedesa)

Jeśli [math] \color{blue} 0\ltn \lt m [/math] to [math]\color{blue} \left[\begin{array}{l} r:=n; \\ \mathbf{while}\ r \leq m \ \mathbf{do} \quad r:=r+n; \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (r\gtm) [/math]

Dowód własności stop algorytmu Euklidesa

Gdyby algorytm Euklidesa miał obliczenie nieskończone dla pewnych liczb naturalnych n i m to stanowiłoby to zaprzeczenie aksjomatu (N3) liczb naturalnych.

W algorytmie występuje pętla zewnętrzna i dwie po kolei pętle wewnętrzne. W każdym przypadku obliczenia pętli wewnętrznych są skończone. Wynika to wprost z aksjomatu (N3). Nieco trudniej jest zauważyć, że obliczenie pętli wewnętrznej jest także skończone. Wychodząc z drugiej pętli wewnętrznej osiągnęliśmy większą z dwu liczb n, m zaczynając od zera i dodając pracowicie jeden. W każdym kolejnym wykonaniu instrukcji iterowanych w pętli zewnętrznej większa z liczb n,m jest zmniejszana bo [math]\color{blue} n \neq m[/math]. Więc, po conajwyżej [math]\color{blue} max(n,m) [/math] powtórzeniach pętli zewnętrznej, algorytm Euklidesa, w tej postaci, zatrzyma się. Ale po kolei: Z aksjomatu (N3) wynika, że

[math]\{ r:=0; \mathbf{while} \ r\neq n\ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od}\} \ r=n [/math]

Wykorzystując następującą regułę wnioskowania

[math]\frac{\alpha \Rightarrow \beta}{\mathbf{while}\ \beta\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \neg \beta \Rightarrow \mathbf{while}\ \alpha\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \neg \alpha} [/math]

wnioskujemy, że

[math]\{ r:=0; \mathbf{while} \ r\neq n \land r\neq m\ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od} \} \ (r=n \lor r=m)[/math]

Z założenia [math]n \neq m[/math] wynika, że

[math]\{ r:=0; \mathbf{while} \ r\neq n \land r\neq m\ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od} \} \ (r=min(n, m))[/math]

Udowodniliśmy więc, że

[math]\left \{\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n\neq m\\ \mathbf{then} \\ \quad r:=0;\\\quad \mathbf{while} \ r\neq n \land r\neq m\ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od}; \\ \quad \mathbf{if}\ r=n\\ \quad \mathbf{then}\\ \qquad n\_mniejsze:=true;\ max:=m\\\quad \mathbf{else}\\ \qquad n\_mniejsze:=false;\ max:=n\\\quad \mathbf{fi};\\ \mathbf{fi} \end{array} \right \} \ ((r=n \land n\ltm)\lor (r=m \land m\gtn )\land max=\mathrm{max}(n,m))[/math]

Jeszcze raz korzystamy z aksjomatu (N3)

[math]\{ r:=0; \mathbf{while} \ r\neq max \ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od}\} \ r=max [/math]

[math]\left \{\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n\neq m\\ \mathbf{then} \\ \quad r:=0;\\ \quad \mathbf{while} \ r\neq n \land r\neq m\ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od}; \\ \quad \mathbf{if}\ r=n\\ \quad \mathbf{then}\\ \qquad n\_mniejsze:=true;\ max:=m\\ \quad \mathbf{else}\\ \qquad n\_mniejsze:=false;\ max:=n\\ \quad \mathbf{fi};\\ \quad r:=0;\\ \quad \mathbf{while} \ r\neq max \ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od} \\ \mathbf{fi} \end{array} \right \} \ ( r=max \land max=\mathrm{max}(n,m))[/math]

Skorzystam z prawa przerwania i wznowienia podróży

[math]\left \{\begin{array}{l} r:=0;\\ \mathbf{while} \ r\neq \mathrm{max}(n,m) \\ \mathbf{do}\\ \quad r:=r+1 \\ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right \} \ ( r=\mathrm{max}(n,m)) \equiv \left \{\begin{array}{l} r:=0;\\ \mathbf{while} \ r\neq min(n,m) \\ \mathbf{do}\\ \quad r:=r+1\\ \mathbf{od}; \\ \mathbf{if}\ r=n\\ \mathbf{then}\\ \quad n\_mniejsze:=true;\\ \quad max:=m\\ \mathbf{else}\\ \quad n\_mniejsze:=false;\\ \quad max:=n\\ \mathbf{fi};\\ \mathbf{while} \ r\neq max \\ \mathbf{do}\\ \quad r:=r+1\\ \mathbf{od} \\ \end{array} \right \} \ ( r=\mathrm{max}(n,m))[/math]

by uzyskać

[math]\left \{\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n\neq m\\ \mathbf{then} \\ \quad r:=0;\\ \quad \mathbf{while} \ r\neq n \land r\neq m\ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od}; \\ \quad \mathbf{if}\ r=n\\ \quad \mathbf{then}\\ \qquad n\_mniejsze:=true;\ max:=m\\ \quad \mathbf{else}\\ \qquad n\_mniejsze:=false;\ max:=n\\ \quad \mathbf{fi};\\ \quad r:=0;\\ \quad \mathbf{while} \ r\neq max \ \mathbf{do}\ r:=r+1\ \mathbf{od}; \\ \quad q:=0 \\ \quad \mathbf{while} \ r\neq max \\ \quad \mathbf{do}\\ \quad r:=r+1\\ \quad \mathbf{od} \\ \mathbf{fi} \end{array} \right \} \ ( r=max \land max=\mathrm{max}(n,m))[/math]

Dowód poprawności algorytmu Euklidesa

Należy wykazać, że ...

przejdź do algorytmu Euklidesa

powrót do wybrane przykłady