Analiza algorytmu Euklidesa: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 8: | Linia 8: | ||
Algorytmiczne aksjomaty liczb naturalnych: | Algorytmiczne aksjomaty liczb naturalnych: | ||
| − | :(N1) <math>(\forall n) (n+1 \neq 0 ) </math> | + | :(N1) <math>\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) </math> |
| − | :(N2) <math>(\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)</math> | + | :(N2) <math>\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)</math> |
| − | :(N3) <math>(\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)</math> | + | :(N3) <math>\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)</math> |
Możemy zdefiniować relacje mniejszości | Możemy zdefiniować relacje mniejszości | ||
| Linia 17: | Linia 17: | ||
| '''Definicja''' | | '''Definicja''' | ||
| − | <math>x<y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \neg (x=y) \wedge \left[\begin{array}{l} | + | <math>\color{blue} x<y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \neg (x=y) \wedge \left[\begin{array}{l} |
r:=0; \\ | r:=0; \\ | ||
\mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ | \mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ | ||
| Linia 27: | Linia 27: | ||
|'''Definicja''' | |'''Definicja''' | ||
| − | <math>x\leq y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} | + | <math>\color{blue} x\leq y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} |
r:=0; \\ | r:=0; \\ | ||
\mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ | \mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ | ||
| Linia 39: | Linia 39: | ||
'''Definicja''' | '''Definicja''' | ||
| − | Jeśli <math>y < x </math> to operacja odejmowania jest określona tak | + | Jeśli <math>\color{blue} y < x </math> to operacja odejmowania jest określona tak |
| − | <math>x \stackrel{.}{-}y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} | + | <math>\color{blue} x \stackrel{.}{-}y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} |
r:=y;\ q:=0; \\ | r:=y;\ q:=0; \\ | ||
\mathbf{while}\ r \neq x \ | \mathbf{while}\ r \neq x \ | ||
| Linia 56: | Linia 56: | ||
Operacja dodawania jest określona tak | Operacja dodawania jest określona tak | ||
| − | <math>x + y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} | + | <math>\color{blue} x + y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} |
r:=x;\ q:=0; \\ | r:=x;\ q:=0; \\ | ||
\mathbf{while}\ q \neq y \ | \mathbf{while}\ q \neq y \ | ||
Wersja z 10:54, 16 lut 2013
Należy udowodnić że algorytm zawsze kończy obliczenia.
Zacznijmy od obserwacji, że algorytm Euklidesa w niestandardowym modelu liczb naturalnych może nie zakończyć obliczeń.
Na jakich podstawach ma się oprzeć dowód własności stop algorytmu?
Algorytmiczne aksjomaty liczb naturalnych:
- (N1) [math]\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]
- (N2) [math]\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]
- (N3) [math]\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]
Możemy zdefiniować relacje mniejszości
| Definicja
[math]\color{blue} x\lty\ \stackrel{df}{\equiv}\ \neg (x=y) \wedge \left[\begin{array}{l} r:=0; \\ \mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ \mathbf{do} \\ \quad r:=r+1 \\ \mathbf{od} \end{array} \right](r=x)[/math] |
Definicja
[math]\color{blue} x\leq y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=0; \\ \mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ \mathbf{do} \\ \quad r:=r+1 \\ \mathbf{od} \end{array} \right](r=x)[/math] |
oraz operację odejmowania
Definicja
Jeśli [math]\color{blue} y \lt x [/math] to operacja odejmowania jest określona tak
[math]\color{blue} x \stackrel{.}{-}y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=y;\ q:=0; \\ \mathbf{while}\ r \neq x \ \mathbf{do} \quad r:=r+1;\ q:=q+1 \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (wynik = q) [/math]
i operację dodawania
Definicja Operacja dodawania jest określona tak
[math]\color{blue} x + y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=x;\ q:=0; \\ \mathbf{while}\ q \neq y \ \mathbf{do} \quad r:=r+1;\ q:=q+1 \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (wynik = r) [/math]
Lemat (aksjomat Archimedesa)
Jeśli [math] \color{blue} 0\ltn \lt m [/math] to [math]\color{blue} \left[\begin{array}{l} r:=n; \\ \mathbf{while}\ r \leq m \ \mathbf{do} \quad r:=r+n; \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (r\gtm) [/math]
Dowód własności stop algorytmu Euklidesa
Gdyby algorytm Euklidesa miał obliczenie nieskończone dla pewnych liczb naturalnych n i m to stanowiłoby to zaprzeczenie aksjomatu (N3) liczb naturalnych.
W algorytmie występuje pętla zewnętrzna i dwie po kolei pętle wewnętrzne. W każdym przypadku obliczenia pętli wewnętrznych są skończone. Wynika to wprost z aksjomatu (N3). Nieco trudniej jest zauważyć, że obliczenie pętli wewnętrznej jest także skończone. Wychodząc z drugiej pętli wewnętrznej osiągnęliśmy większą z dwu liczb n, m zaczynając od zera i dodając pracowicie jeden. W każdym kolejnym wykonaniu instrukcji iterowanych w pętli zewnętrznej większa z liczb n,m jest zmniejszana bo [math]\color{blue} n \neq m[/math]. Więc, po conajwyżej [math]\color{blue} max(n,m) [/math] powtórzeniach pętli zewnętrznej, algorytm Euklidesa, w tej postaci, zatrzyma sie.
Dowód poprawności algorytmu Euklidesa
Należy wykazać, że ...
- przejdź do algorytmu Euklidesa
-
- powrót do wybrane przykłady
