Collatz: Różnice pomiędzy wersjami
(→Formuła stopu) |
(→Formuła stopu) |
||
| Linia 26: | Linia 26: | ||
==Formuła stopu== | ==Formuła stopu== | ||
Należy zatem sformułować formułę <math>\theta</math> (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu <math>Cl</math> jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.<br/> | Należy zatem sformułować formułę <math>\theta</math> (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu <math>Cl</math> jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.<br/> | ||
| − | ,<math> \theta:\,\left \begin{tabular}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\ | + | ,<math> \theta:\,\left\{ \begin{tabular}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\ |
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ | \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ | ||
| − | \mathbf{od} \end{tabular} \right (n=1) </math> | + | \mathbf{od} \end{tabular} \right\} (n=1) </math> |
<br /> | <br /> | ||
Można też rozważać inne formuły. <br/> | Można też rozważać inne formuły. <br/> | ||
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych. | Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych. | ||
Wersja z 12:36, 8 wrz 2021
Nareszcie!
Praca nad problemem trwała 83 lata.
Udało się zmienić statut z hipoteza Collatza na twierdzenie Collatza.
Argumenty znajdziesz tu.
Spis treści
Wprowadzenie
Rozpatrzmy zdanie
dla każdej liczby naturalnej [math]n[/math], poniższy program ma obliczenie sończone
Zaczynamy od uwagi, że prawdziwośc powyższego zdania pociaga za sobą prawdzowość tezy Collatza. Ale w r.1937 nie istniały komputery ani języki programowania.
Spostrzeżenie z r. 2004
- algorytm nie potrzebuje operacji mnożenia,
- w strukturze algebraicznej, która jest niestandardowym modelem elementarnej teorii dodawania liczb naturalnychnasz algorytm ma obliczenie nieskończone.
- Tezy Collatza nie można udowodnić na podstawie aksjomatów elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych.
Poprawiamy sformułowanie tezy
W standardowej strukturze liczb naturalnych z operacją dodawania nasz program ma obliczenie skończone, dla każdego argumentu n..
Formuła stopu
Należy zatem sformułować formułę [math]\theta[/math] (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu [math]Cl[/math] jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.
,[math] \theta:\,\left\{ \begin{tabular}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{od} \end{tabular} \right\} (n=1) [/math]
Można też rozważać inne formuły.
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.
