Arytmetyka Algorytmiczna
Jest to zalążek dłuższego tekstu.
Algorytmiczna teoria liczb naturalnych, w skrócie arytmetyka algorytmiczna, jest sformalizowaną teorią wyznaczoną przez trójkę [math]\langle \mathcal{L, C, A} \rangle[/math] gdzie
- - [math] \mathcal{L}[/math] jest językiem algorytmicznym. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, funktory: [math] +1, 0 [/math], predykat [math] = [/math] oraz operatory logiczne [math] \lor, \land, \implies. \neg [/math], funktory programotwórcze [math] :=, '''while''' '''do''' '''od''' [/math] oraz zbiór symboli pomocniczych: nawiasy, przecinek etc.
- - [math] \mathcal{ C}[/math] jest operacją konsekwencji wyznaczoną przez aksjomaty i reguły wnioskowania logiki algorytmicznej oraz pojęcie dowodu. Operacja konsekwencji przyporzadkowuje każdemu zbiorowi Z formuł zbiór formuł posiadających dowód w oparciu o zbiór Z.
- - [math] \mathcal{A}[/math] jest to zbiór złożony z trzech formuł wyliczonych poniżej
Aksjomaty algorytmicznej teorii liczb naturalnych:
- (N1) [math]\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]
- (N2) [math]\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]
- (N3) [math]\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]
Niektóre fakty
Operacje dodawania i mnożenia są programowalne
Algorytm Euklidesa
- Fakt Jego własność stop nie wynika z aksjomatów Peano, ponieważ algorytm zapętla się w modelu (niestandardowym) arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem.
- Twierdzenie Formuła stopu algorytmu Euklidesa jest twierdzeniem arytmetyki algorytmicznej.
- Formuła ta, jak i formuła wyrażająca poprawność algorytmu Euklidesa, dają się wyprowadzić z aksjomatów algorytmicznej arytmetyki, zob. analiza algorytmu Euklidesa.
Algorytmiczny aspekt ostatniego twierdzenia Fermata
- Pewien program PF4 ma obliczenie dowolnej długości (tj. zapetla sie).
- Pewien program PF5 zawsze zakończy swe obliczenia.
Oba te fakty sa konsekwencją ostatniego twierdzenia Fermata.
Problem Collatza
L. Collatz sformułował swoją hipotezę w r. 1937, do dzisiaj nie znamy dowodu tej tezy ani kontrprzykladu.
- [math](\forall n)\left \{ \begin{array}{l} \mathbf{while}\ n\neq 1\\ \mathbf{do}\\ \quad \mathbf{if}\ n\ is\ odd\\ \quad \mathbf{then}\\ \qquad n := 3*n+1\\ \quad \mathbf{else}\\ \qquad n:= n \div 2\\ \quad \mathbf{fi}\\ \mathbf{od}\end{array}\right\} (n=1) [/math]
co czytamy: dla każdego n, powyżej podany program (Collatza) kończy swoje obliczenia. Istnieje obszerna literatura tego zagadnienia. Ustanowiono nagrodę pieniężną za rozwiązanie problemu.
Spostrzeżenie
Fakt W modelu niestandardowym arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem algorytm Collatza ma obliczenia nieskończone.
Fakt W algorytmicznej teorii liczb naturalnych z dodawaniem (bez mnozenia) powyższa formuła algorytmiczna nie ma dowodu.
Fakt Jeśli hipoteza Collatza jest prawdziwa to istnieje dowód w algorytmicznej teorii liczb naturalnych.
