Rachunek programów

Termin rachunek programów wydaje się lepiej pasować do znanych pojęć: rachunek zdań i rachunek predykatów. Rachunek programów zawiera w sobie oba rachunki i ponadto pozwala dokonywać "rachunków" na programach. Jak to zobaczymy często dowody semantycznych własności programów przybieraja postać rachunków na formułach algorytmicznych.
Logikę algorytmiczną utożsamiać będziemy z rachunkiem programów.
[math]\qquad \mbox{Rachunek zdań} \subset \left [\begin{array}{l} \mathrm{Rachunek\ predykatów} \\czyli \\ \mathrm{Logika\ pierwszego\ rzędu}\end{array}\right ] \subset \left [\begin{array}{l}\mathrm{Rachunek\ programów}\\czyli \\ \mbox{Logika algorytmiczna} \end{array}\right ] [/math]

Każdy program można traktować jako operator modalności: formułę P [math]\alpha[/math], czytamy program P zakończył obliczenie i jego wyniki spełniają formułę [math]\alph[/math]. Rachunek programów jest splotem dwu algebr: algebry formuł i algebry programów. (zob. G. Mirkowska rozprawa doktorska 1972).
Przykłady praw rachunku programów
W poniższych schematach rachunku programów możesz znaki [math]K[/math] i [math]M[/math] zastąpić przez programy, a znaki [math]\alpha, \beta, \gamma[/math] przez formuły.(Formuła [math]\gamma[/math] powinna nie zawierac kwantyfikatorów)

[math]\vdash K\,(\alpha \land \beta) \equiv (K\,\alpha \land K\,\beta) \,[/math]
Program jest więc operatorem rozdzielnym z koniunkcja.

[math]\vdash \{\textbf{if }\gamma \textbf{ then }K \textbf{ else }M \textbf{ fi} \}\,\alpha \equiv ((\gamma \land K\,\alpha) \lor (\neg \gamma \land M\,\alpha)) [/math]
Tu natomiast widzimy możliwość eliminacji operatora if
Operator iteracji while nie może być wyeliminowany w taki sposób
[math]\vdash \{\textbf{while }\gamma \textbf{ do }K \textbf{ od} \}\,\alpha \equiv ((\gamma \land \{K;\,\textbf{while }\gamma \textbf{ do }K \textbf{ od}\}\,\alpha) \lor (\neg \gamma \land \alpha)) [/math]
Operator while jest działaniem nieskończonym, podobnie jak kwantyfikatory. Można go opisać przy pomocy kwantyfikatora iteracji.
[math]\vdash \{\textbf{while }\gamma \textbf{ do }K \textbf{ od} \}\,\alpha \equiv \bigcup \{\textbf{if }\gamma \textbf{ then }K \textbf{ fi} \}\,(\neg \gamma \land \alpha) [/math]
Ponadto, każde prawo rachunku predykatów (a więc także każde prawo rachunku zdań) jest prawem rachunku programów.

Przykłady reguły wnioskowania.
[math]\frac{\big\{\{\textbf{if }\gamma \textbf{ then }K \textbf{ fi} \}^i\,(\neg \gamma \land \alpha))\Rightarrow \beta \big\}_{i \in N}}{\big(\bigcup \{\textbf{if }\gamma \textbf{ then }K \textbf{ fi} \}\,(\neg \gamma \land \alpha)\big) \Rightarrow \beta } [/math] i
[math]\frac{\big\{\{\textbf{if }\gamma \textbf{ then }K \textbf{ fi} \}^i\,(\neg \gamma \land \alpha))\Rightarrow \beta \big\}_{i \in N}} {\big( \{\textbf{while }\gamma \textbf{ do }K \textbf{ od} \}\,(\neg \gamma \land \alpha)\big) \Rightarrow \beta } [/math] Obie te reguły wskazują na nieskończony charakter działań while oraz [math] \bigcup [/math].