SpecVer/IloczynSkalarny

Narzędzia

W dowodzie wykorzystamy własności instrukcji for

[math] \begin{array}{l} (f1) \ \mathbf{for}\ i\ := \ 1\ \mathbf{to}\ 0\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \alpha \equiv \alpha \\ (f2)\ \mathbf{for}\ i\ :=\ n\ \mathbf{to}\ n\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \alpha \equiv \{i:=n\}\ \alpha \\ (f3)\ \mathbf{for}\ i\ :=\ 1\ \mathbf{to}\ n+1\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od}\ \alpha \equiv \{\mathbf{for}\ i\ :=\ 1\ \mathbf{to}\ n+1\ \mathbf{do}\ K\ \mathbf{od};\ i:=n+1;\ K \} \ \alpha \end{array} [/math]

oraz własności sumy [math] \sum[/math]

[math] \begin{array}{l} (s1)\ \sum\limits_1^0 \omega(i) = 0 \\ (s2)\ \sum\limits_1^1 \omega(i) = \omega(i/1) \\ (s3)\ \sum\limits_1^{n+1} \omega(i) = \sum\limits_1^{n} \omega(i) +\omega(i/n+1) \end{array} [/math]

Dowód poprawności

Precondition [math]\alpha[/math]: typ(A) jest arrayof real i typ(B) jest array of real i lower(A) = lower(B) i upper(A) = upper(B) i typ(i) jest integer i typ(s) jest real.

Postcondition [math]\beta[/math]: [math]s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i[/math]

Należy udowodnić formułę

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)[/math]

Dowód przebiega przez indukcję ze względu na wielkość upper(A)-lower(A).

(Podstawa indukcji) Gdy lower(A)=upper(A) to należy udowodnić

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ lower(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{lower(A)}A_i * B_i \right)[/math]

Wykorzystamy własność (f2), (s2) i aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ i\ :=\ lower(A);\ s\ :=\ s+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)}A_i * B_i \right)[/math]

własność (s2)

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ i\ :=\ lower(A);\ s\ :=\ s+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \ s\ :=\ s+A[lower(A)] * B[lower(A)] \end{array}\right ] \left( s=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

i jeszcze raz aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ s\ :=\ 0+A[lower(A)] * B[lower(A)] \right ] \left( s=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

kolejne zastosowanie aksjomatu instrukcji przypisania daje nam

[math] \alpha \Rightarrow \left( A[lower(A)] * B[lower(A)=A_{lower(A)} * B_{lower(A)} \right)[/math]

formułę oczywiście prawdziwą. Wszystkie kroki polegały na przejściu od formuły do formuły jej równoważnej. W ten sposób udowodniliśmy bazę indukcji.

(Krok indukcji) Załóżmy, że nasza formuła jest prawdziwa dla [math]upper(A)-lower(A)=n[/math] i zbadajmy prawdziwość formuły

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)+1\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od} \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

Teraz zastosujemy własność (f3)

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od}; \\ i := upper(A)+1; \\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

Z założenia indukcyjnego wiemy, że po wykonaniu dwu pierwszych instrukcji spełniona jest asercja

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} s:=0; \\ \mathbf{for}\ i\ :=\ lower(A)\ \mathbf{to}\ upper(A)\ \mathbf{do}\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\ \mathbf{od}; \\ \left( \mathbf{Asercja }\ s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)} A_i * B_i \right) \\ i := upper(A)+1; \\ s\ :=\ s+A[i] * B[i]\end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

co pozwala nam zastąpić tę formułę formułą jej równoważną

[math] \alpha \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} i := upper(A)+1; \\ s\ :=\ \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)} A_i * B_i\right)+A[i] * B[i] \end{array}\right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

ponownie stosujemy aksjomat instrukcji przypisania

[math] \alpha \Rightarrow \left [ s\ :=\ \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)} A_i * B_i\right)+A[upper(A)+1] * B[upper(A)+1] \right ] \left( s=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

i jeszcze raz, by otrzymać

[math] \alpha \Rightarrow \left( \left(\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)} A_i * B_i\right)+A[upper(A)+1] * B[upper(A)+1]=\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

zastosujemy własność (s3) sumy

[math] \alpha \Rightarrow \left( \sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1} A_i * B_i =\sum\limits_{i=lower(A)}^{upper(A)+1}A_i * B_i \right)[/math]

co kończy dowód.