Analiza algorytmu Euklidesa
Należy udowodnić że algorytm zawsze kończy obliczenia.
Algorytmiczne aksjomaty liczb naturalnych:
- (n1) [math](\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]
- (n2) [math](\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]
- (n3) [math](\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]
Możemy zdefiniować relacje mniejszości
| Definicja
[math]x\lty\ \stackrel{df}{\equiv}\ \neg (x=y) \wedge \left[\begin{array}{l} r:=0; \\ \mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ \mathbf{do} \\ \quad r:=r+1 \\ \mathbf{od} \end{array} \right](r=x)[/math] |
Definicja
[math]x\leq y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=0; \\ \mathbf{while}\ r\neq x \land r \neq y \\ \mathbf{do} \\ \quad r:=r+1 \\ \mathbf{od} \end{array} \right](r=x)[/math] |
oraz operację odejmowania
Definicja
Jeśli [math]y \lt x [/math] to operacja odejmowania jest określona tak
[math]x \stackrel{.}{-}y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=y;\ q:=0; \\ \mathbf{while}\ r \neq x \ \mathbf{do} \quad r:=r+1;\ q:=q+1 \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (wynik = q) [/math]
i operację dodawania
Definicja Operacja dodawania jest określona tak
[math]x + y\ \stackrel{df}{\equiv}\ \left[\begin{array}{l} r:=x;\ q:=0; \\ \mathbf{while}\ q \neq y \ \mathbf{do} \quad r:=r+1;\ q:=q+1 \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (wynik = r) [/math]
Lemat (aksjomat Archimedesa)
Jeśli [math] \color{blue} 0\ltn \lt m [/math] to [math]\color{blue} \left[\begin{array}{l} r:=n; \\ \mathbf{while}\ r \leq m \ \mathbf{do} \quad r:=r+n; \ \mathbf{od}; \\ \end{array} \right] (r\gtm) [/math]
Dowód własności stop algorytmu Euklidesa
Gdyby algorytm Euklidesa miał obliczenie nieskończone dla pewnych liczb naturalnych n i m to stanowiłoby to zaprzeczenie aksjomatu (n3) liczb naturalnych.
W algorytmie występuje pętla wewnętrzna i dwie po kolei pętle wewnętrzne. W każdym przypadku obliczenia pętli wewnętrznych są skończone. Wynika to wprost z aksjomatu (n3). Nieco trudniej jest zauważyć, że obliczenie pętli wewnętrznej jest także skończone. Wychodząc z drugiej pętli wewnętrznej osiągnęliśmy większą z dwu liczb n, m zaczynając od zera i dodając pracowicie jeden.
