Algorithmic theory of integers

Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany integer (lub [math]Z[/math]), razem z niepustym podzbiorem [math]N[/math] (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma operacjami dwuargumentowymi dodawania i mnożenia, oznaczanymi przez [math]+[/math] i [math]\cdot[/math], które spełniają następujące aksjomaty:

• (Przemienność) Dla każdej pary liczb całkowitych [math]a, b[/math] zachodzą równości

[math]a+b=b+a\qquad[/math] oraz [math]\qquad a\cdot b = b \cdot a[/math],

• (Łączność) Dla każdej trójki liczb całkowitych [math]a,b, c[/math] zachodzą równości

[math](a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad[/math] oraz [math]\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)[/math],

• (Rozdzielność) Dla każdej trójki liczb całkowitych zachodzi równość

[math](a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c[/math]

• (Jedności) Istnieją liczby całkowite 0 i 1 takie, że dla każdego [math]a[/math] zachodzi równość

[math]a+0=a\qquad [/math] oraz [math]\qquad a\cdot 1= a[/math],

• (Domknięcie w [math]N[/math]) Jeśli [math]a[/math] i [math]b[/math] są liczbami całkowitymi nieujemnymi to liczby [math]a+b[/math] oraz [math]a\cdot b[/math] też są liczbami całkowitymi, nieujemnymi,
• (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej [math]a[/math], istnieje taka liczba całkowita [math]-a[/math], że zachodzi równość

[math] a+-a =0 [/math]

• (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej [math]a[/math] zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba [math]a[/math] jest nieujemna, albo b) liczba [math]a[/math] jest zerem [math]a=0[/math] albo c) liczba [math]-a[/math] jest nieujemna,
• (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.
  
• (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do [math]N[/math].

c.d.n.