Algorithmic theory of integers

Integer numbers form a set, usually denoted integer (or [math]Z[/math]). The set contains a non-empty subset [math]N[/math] (of natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted, [math]+[/math] i [math]\cdot[/math]. These operations fulfill the following axioms:

• (Commutativity) For every pair of integer numbers [math]a, b[/math] the following equalities hold

[math]a+b=b+a\qquad[/math] and [math]\qquad a\cdot b = b \cdot a[/math],

• (Associativity) For every triplet of integer numbers [math]a,b, c[/math] the following equalities hold

[math](a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad[/math] and [math]\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)[/math],

• (Distributivity) For every triplet of integer numbers the following equality holds

[math](a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c[/math]

• (Units) There exist integer numbers 0 i 1 such that, for every [math]a[/math] the following equalities hold

[math]a+0=a\qquad [/math] and [math]\qquad a\cdot 1= a[/math],

• (Closure in [math]N[/math]) If [math]a[/math] and [math]b[/math] are non-negative integer numbers then numbers [math]a+b[/math] and [math]a\cdot b[/math] are also non-negative integer numbers,
• (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej [math]a[/math], istnieje taka liczba całkowita [math]-a[/math], że zachodzi równość

[math] a+-a =0 [/math]

• (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej [math]a[/math] zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba [math]a[/math] jest nieujemna, albo b) liczba [math]a[/math] jest zerem [math]a=0[/math] albo c) liczba [math]-a[/math] jest nieujemna,
• (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.
  
• (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do [math]N[/math].

c.d.n.