Collatz: Różnice pomiędzy wersjami

Z Lem
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
(Algorytmiczna teoria liczb naturalnych)
(Elementarna teoria dodawania liczb naturalnych)
 
(Nie pokazano 50 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
 
Nareszcie!<br />
 
Nareszcie!<br />
 
Praca nad problemem trwała 83 lata.<br />
 
Praca nad problemem trwała 83 lata.<br />
 
+
Udało się. Zmieniamy statut   ''hipotezy Collatza'' na [http://lem12.uksw.edu.pl/images/2/21/HotelCollatza.pdf  '''twierdzenie Collatza'''].<br />
 
+
Wersja z 5 czerwca 2022 [https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.4158238 '''twierdzenie Collatza''']  przedłozona do TCS Journal  .<br />
Udało się zmienić statut z ''hipoteza Collatza'' na '''twierdzenie Collatza'''.<br />
+
Skróconą i niezbyt formalną wersję dowodu znajdziesz w tym [http://lem12.uksw.edu.pl/images/9/9f/MainPointsProofCollatz.pdf miejscu].<br />
Argumenty znajdziesz [http://lem12.uksw.edu.pl/images/a/a2/On-Collatz-thm-3-09-21.pdf tu].<br />
+
 
+
 
==Wprowadzenie==
 
==Wprowadzenie==
 
Rozpatrzmy zdanie<br/>
 
Rozpatrzmy zdanie<br/>
Linia 13: Linia 11:
 
\mathbf{od} \end{array}\right\} </math> <br />
 
\mathbf{od} \end{array}\right\} </math> <br />
 
Zaczynamy od uwagi, że prawdziwośc powyższego zdania pociaga za sobą prawdzowość tezy Collatza, tak jak ona została sformułowana przed II wojną światową. <br />
 
Zaczynamy od uwagi, że prawdziwośc powyższego zdania pociaga za sobą prawdzowość tezy Collatza, tak jak ona została sformułowana przed II wojną światową. <br />
Ale w  r.1937  nie istniały komputery ani języki programowania.
+
Ale w  r.1937  nie istniały komputery ani języki programowania<br />
 +
.Z drugiej strony istniała i była już mocno rozwinięta teoria algorytmów. Teorię funkcji rekurencyjnych rozwijanow w Getyndze (David Hilbert i jego uczniowie), Budapeszcie (Rozsza Pterer, Laszlo Kalmar), ...<br />
 +
W Londynie Alan Turing stworzył abstrakcyjną maszynę Turinga.<br />
 +
W Moskwie Kołmogorow i w Kazaniu Malcew badali pojęcie funkcji obliczalnej. <br />
 +
<br />
 +
W Warszawie Alfred Tarski wraz z uczniami Mojżeszem Presburgerem, Stanisławem Jaskowskim uzyskali ważne wyniki dotycące teorii dodawania liczb naturalnych.
  
 
==Spostrzeżenie z r. 2004==
 
==Spostrzeżenie z r. 2004==
* algorytm nie potrzebuje operacji mnożenia ani dzielenia przez 2,
+
* Algorytm Collatza <math>Cl</math> nie potrzebuje operacji mnożenia ani dzielenia. Wystarczy mnożenie przez 3 ( bo 3x=x+x+x) i dzielenia przez 2 ( prosty algorytm dodający co drugą jedynkę wystarczy),
* w strukturze algebraicznej, która jest niestandardowym modelem elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych  (jest taka) algorytm <math>Cl</math> ma dla pewnych argumentów obliczenie nieskończone.
+
* W strukturze algebraicznej, która jest niestandardowym modelem elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych  (jest taka, zobacz poniżej) algorytm <math>Cl</math> ma dla pewnych argumentów obliczenie nieskończone.
* a więc tezy Collatza nie można udowodnić na podstawie aksjomatów elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych,
+
* A więc tezy Collatza nie można udowodnić na podstawie aksjomatów elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych,
* co więcej, w języku elementarnej teorii dodawania nie istnieje formuła stopu dl algorytmu Collatza!. Czego więc mamy dowieść?
+
* Co więcej, w języku elementarnej teorii dodawania nie istnieje formuła stopu dl algorytmu Collatza!. Czego więc mamy dowieść?
  
 
==Poprawiamy sformułowanie tezy==
 
==Poprawiamy sformułowanie tezy==
Linia 48: Linia 51:
 
'''Logika.''' Operacja konsekwencji (wnioskowania) jest wyznaczona przez podanie aksjomatów logiki pierwszego rzędu i reguł wnioskowania. <br />
 
'''Logika.''' Operacja konsekwencji (wnioskowania) jest wyznaczona przez podanie aksjomatów logiki pierwszego rzędu i reguł wnioskowania. <br />
 
'''Aksjomaty.'''
 
'''Aksjomaty.'''
 +
 +
'''Modele arytmetyki Presburgera'''
 +
Zgodnie z przewidywaniami ciąg  standardowych wartości 0,1,2,3, ... jest modelem tej teorii.
 +
 +
Stanisław Jaśkowski in 1929 odkrył  inny,niestandardowy  model arytmetyki  Presburgera.
 +
 +
[[Plik:MonStandardModel.png|center|thumb|600px|Nonstandard model of Presburger arithmetic]]
 +
The universe of the model is a subset of the set of complex numbers <math>a+\imath b</math>
 +
where  <math>a \in \mathbb{Z} </math> i.e. a is an integer number and <math>b \in \mathbb{Q}^+ </math> is a positive rational number. Additionally, whenever <math>b=0 </math> we have <math>a>0</math>.
 +
Addition is defined as  usual addition of complex numbers.
 +
 +
Oba modele są obliczalne. Istnieją też modele nieobliczalne, dowolnie wysokiej mocy.
  
 
==Algorytmiczna teoria liczb naturalnych==
 
==Algorytmiczna teoria liczb naturalnych==
\[\tag{ATN} \mbox{{\scriptsize Axioms of}}\ \mathcal{ATN} \
+
* Język. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, np. x,y. funktor + dwiargumentowego działania dodawania, dwie stałe 0 i 1, znak relacji = równości.<br />
\left \{\begin{array}{l}
+
Termy (tj. wyrażenia nazwowe: jest to najmniejszy zbiór wyrażeeń zawierający zmienne, stałe i zamknięty ze wzgledu na lączenie dwu termów w ten sposób (t1 + t2).<br />
  \forall_x\, x+1 \neq 0 \\
+
Formuły.
  \forall_{x,y}\,x+1=y+1 \implies x=y \\
+
* Logika. Rachunek programów.  Rachunek programów zawiera w sobie logikę pierwszego rzędu. Język rachunku programów oprócz formuł pierwszego rzędu zaiera formuły algorytmiczne. Najprostsza taka formuła to napis składający się z programu i następującej po nim formuły (zwykle formuły pierwszego rzędu).
  \forall_x\, \{y :=0; \mathbf{while}\ y\neq x\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{od} \}\,(y=x)
+
Do aksjomatów logiki pierszego rzędu należy dodać aksjomaty opisujące własności spójników programotwórczych, zob. [[Logika algorytmiczna]].
\end{array} \right \} \]
+
Do reguł wnioskowania logiki pierwszego rzędu należy dodać reguły specyficzne dla rachunku programów. <br />
 +
 
 +
* Aksjomaty teorii. <br />
 +
Tylko trzy formuły. <br />
 +
<math> 
 +
\begin{eqnarray}
 +
  \tag{ATN1} \forall_x\, x+1 \neq 0 &&\\
 +
  \tag{ATN2} \forall_{x,y}\,x+1=y+1 \implies x=y &&\\
 +
  \tag{ATN3}\forall_x\, \{y :=0; \mathbf{while}\ y\neq x\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{od} \}\,(y=x) &&
 +
\end{eqnarray}   </math><br />
 +
 
 +
Są to właściwie aksjomaty teorii następnika.<br/>
 +
Formuła ATN1 stwierdza, że 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. <br/>
 +
Formuła ATN2 stwierdza, że następnik jest funkcją róznowartosciową. <br/>
 +
Formuła ATN3 stwierdza, że każda liczba naturalna jest ''osiągalna'' z zera przez dodanie skończonej liczby jedynek.<br/>
 +
W tej teorii można napisać definicje działań dodawania, mnożenia i każdej funkcji obliczalnej.
  
 
==Analiza formuły stopu==
 
==Analiza formuły stopu==
Linia 61: Linia 91:
  
 
==Trójki ==
 
==Trójki ==
xxx
+
Spostrzeżenie (wynikłe z przygladania się formule stopu).<br />
 +
 
 +
<math>\forall_{n \neq 0} \exists_{x,y,z}\ n \cdot 3^x+y=2^z  </math>
 +
 
 
==Drzewo Collatza==
 
==Drzewo Collatza==
 
xxx
 
xxx
 
==Własności obliczeń na trójkach==
 
==Własności obliczeń na trójkach==
 +
 +
== Archiwum kolejnych wersji pracy ==
 +
[https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.4158238 \On Collatz theorem II.pdf wersja z 5 czerwca 2022 ]
 +
 +
][http://lem12.uksw.edu.pl/images/a/ab/On-Collatz-thm17-09-21.pdf wersja z 20 wrzesnia 2021]
 +
 +
[http://lem12.uksw.edu.pl/images/7/7d/Algorytmy-bliskie-Collatzowi.pdf  algorytmy wokół Collatzowe]
 +
 +
[http://lem12.uksw.edu.pl/images/c/c0/On-Collatz-thm-27-09-21.pdf  wersja z 27 wrzesnia 2021]
 +
 +
[http://lem12.uksw.edu.pl/images/8/8f/On-Collatz-thm-7-10-21.pdf  wersja z 7 pażdziernika 2021]

Aktualna wersja na dzień 19:19, 27 wrz 2022

Nareszcie!
Praca nad problemem trwała 83 lata.
Udało się. Zmieniamy statut hipotezy Collatza na twierdzenie Collatza.
Wersja z 5 czerwca 2022 twierdzenie Collatza przedłozona do TCS Journal .
Skróconą i niezbyt formalną wersję dowodu znajdziesz w tym miejscu.

Wprowadzenie

Rozpatrzmy zdanie
dla każdej liczby naturalnej [math]n[/math], poniższy program [math]Cl [/math] ma obliczenie sończone
[math]\color{blue}\qquad Cl:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\ \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ \mathbf{od} \end{array}\right\} [/math]
Zaczynamy od uwagi, że prawdziwośc powyższego zdania pociaga za sobą prawdzowość tezy Collatza, tak jak ona została sformułowana przed II wojną światową.
Ale w r.1937 nie istniały komputery ani języki programowania
.Z drugiej strony istniała i była już mocno rozwinięta teoria algorytmów. Teorię funkcji rekurencyjnych rozwijanow w Getyndze (David Hilbert i jego uczniowie), Budapeszcie (Rozsza Pterer, Laszlo Kalmar), ...
W Londynie Alan Turing stworzył abstrakcyjną maszynę Turinga.
W Moskwie Kołmogorow i w Kazaniu Malcew badali pojęcie funkcji obliczalnej.

W Warszawie Alfred Tarski wraz z uczniami Mojżeszem Presburgerem, Stanisławem Jaskowskim uzyskali ważne wyniki dotycące teorii dodawania liczb naturalnych.

Spostrzeżenie z r. 2004

  • Algorytm Collatza [math]Cl[/math] nie potrzebuje operacji mnożenia ani dzielenia. Wystarczy mnożenie przez 3 ( bo 3x=x+x+x) i dzielenia przez 2 ( prosty algorytm dodający co drugą jedynkę wystarczy),
  • W strukturze algebraicznej, która jest niestandardowym modelem elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych (jest taka, zobacz poniżej) algorytm [math]Cl[/math] ma dla pewnych argumentów obliczenie nieskończone.
  • A więc tezy Collatza nie można udowodnić na podstawie aksjomatów elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych,
  • Co więcej, w języku elementarnej teorii dodawania nie istnieje formuła stopu dl algorytmu Collatza!. Czego więc mamy dowieść?

Poprawiamy sformułowanie tezy

W standardowej strukturze liczb naturalnych z operacją dodawania nasz program ma obliczenie skończone, dla każdego argumentu n..

Formuła stopu

Należy zatem stworzyć formułę [math]\theta[/math] (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu [math]Cl[/math] jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.
,[math]\qquad \theta:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\ \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ \mathbf{od} \end{array}\right\} (n=1) [/math]
Można też rozważać inne formuły, np,
,[math]\qquad \xi:\,\bigcup \left\{K:\,\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n \neq 0 \ \mathbf{then} \\ \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ \mathbf{fi} \end{array}\right\} (n=1) [/math]
{co się czyta: istnieje taka iteracja ,[math]K^i[/math] programu [math]K[/math], że po wykonaniu [math]K^i[/math] zachodzi równość [math]n=1[/math] .}
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: nalezy przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.


Elementarna teoria dodawania liczb naturalnych

Poprzednia obserwacja stwierdzająca, że w tej teorii nie można przeprowadzić dowodu tezy Collatza pozostaje w mocy. Jednak, w dalszych rozważaniach pomocne będą własności niestandardowego modelu tej teorii a także parę twierdzeń tej teorii.

Teoria ta jest wyznaczona przez podanie trzech składników: języka, logiki czyli operacji konsekencji oraz aksjomatów specyficznych dla tej teorii.
Język. Wyrażenia języka zbudowane są z następujących symboli: symbole zmiennych np. x,y,n, symbou + dwuargumentoweji operacji, symbolu = dwuargumentowej relacji, symboli 0,1 stałych i symboli funktorów logicznych oraz symboli pomocniczych np. nawiasy
. Przykładami wyrażeń są ...

Logika. Operacja konsekwencji (wnioskowania) jest wyznaczona przez podanie aksjomatów logiki pierwszego rzędu i reguł wnioskowania.
Aksjomaty.

Modele arytmetyki Presburgera Zgodnie z przewidywaniami ciąg standardowych wartości 0,1,2,3, ... jest modelem tej teorii.

Stanisław Jaśkowski in 1929 odkrył inny,niestandardowy model arytmetyki Presburgera.

Nonstandard model of Presburger arithmetic

The universe of the model is a subset of the set of complex numbers [math]a+\imath b[/math] where [math]a \in \mathbb{Z} [/math] i.e. a is an integer number and [math]b \in \mathbb{Q}^+ [/math] is a positive rational number. Additionally, whenever [math]b=0 [/math] we have [math]a\gt0[/math]. Addition is defined as usual addition of complex numbers.

Oba modele są obliczalne. Istnieją też modele nieobliczalne, dowolnie wysokiej mocy.

Algorytmiczna teoria liczb naturalnych

  • Język. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, np. x,y. funktor + dwiargumentowego działania dodawania, dwie stałe 0 i 1, znak relacji = równości.

Termy (tj. wyrażenia nazwowe: jest to najmniejszy zbiór wyrażeeń zawierający zmienne, stałe i zamknięty ze wzgledu na lączenie dwu termów w ten sposób (t1 + t2).
Formuły.

  • Logika. Rachunek programów. Rachunek programów zawiera w sobie logikę pierwszego rzędu. Język rachunku programów oprócz formuł pierwszego rzędu zaiera formuły algorytmiczne. Najprostsza taka formuła to napis składający się z programu i następującej po nim formuły (zwykle formuły pierwszego rzędu).

Do aksjomatów logiki pierszego rzędu należy dodać aksjomaty opisujące własności spójników programotwórczych, zob. Logika algorytmiczna. Do reguł wnioskowania logiki pierwszego rzędu należy dodać reguły specyficzne dla rachunku programów.

  • Aksjomaty teorii.

Tylko trzy formuły.
[math] \begin{eqnarray} \tag{ATN1} \forall_x\, x+1 \neq 0 &&\\ \tag{ATN2} \forall_{x,y}\,x+1=y+1 \implies x=y &&\\ \tag{ATN3}\forall_x\, \{y :=0; \mathbf{while}\ y\neq x\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{od} \}\,(y=x) && \end{eqnarray} [/math]

Są to właściwie aksjomaty teorii następnika.
Formuła ATN1 stwierdza, że 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
Formuła ATN2 stwierdza, że następnik jest funkcją róznowartosciową.
Formuła ATN3 stwierdza, że każda liczba naturalna jest osiągalna z zera przez dodanie skończonej liczby jedynek.
W tej teorii można napisać definicje działań dodawania, mnożenia i każdej funkcji obliczalnej.

Analiza formuły stopu

xxx

Trójki

Spostrzeżenie (wynikłe z przygladania się formule stopu).

[math]\forall_{n \neq 0} \exists_{x,y,z}\ n \cdot 3^x+y=2^z [/math]

Drzewo Collatza

xxx

Własności obliczeń na trójkach

Archiwum kolejnych wersji pracy

\On Collatz theorem II.pdf wersja z 5 czerwca 2022

]wersja z 20 wrzesnia 2021

algorytmy wokół Collatzowe

wersja z 27 wrzesnia 2021

wersja z 7 pażdziernika 2021