|
|
| Linia 39: |
Linia 39: |
| | == Przyczynki do problemu Collatza == | | == Przyczynki do problemu Collatza == |
| | | | |
| − | L. Collatz sformułował swoją hipotezę w r. 1937, do dzisiaj nie znamy dowodu tej tezy ani kontrprzykladu.
| + | [Media:OnCollatzTheorem.pdf] |
| − | :<math>(\forall n \in N)\left \{ \begin{array}{l} \mathbf{while}\ n\neq 1\ \mathbf{do}\\ \quad \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi}\\ \mathbf{od}\end{array}\right\} (n=1) </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | <small>''co czytamy''</small>: dla każdej liczby naturalnej n, powyżej podany program (Collatza) kończy swoje obliczenia.<br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Istnieje obszerna literatura tego zagadnienia. Ustanowiono nagrodę pieniężną za rozwiązanie problemu.
| + | |
| − | | + | |
| − | Spostrzeżenie
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Fakt 1''' W modelu niestandardowym arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem algorytm Collatza ma obliczenia nieskończone. Zob. dodatek A w pracy [[Media:On-Euclids-algorithm-2018.pdf]] i sprawdź, że argumenty wykazujące niemożność udowodnienia algorytmu Euklidesa w elementarnej arytmetyce liczb naturalnych (teorii Peano) przenoszą się na przypadek algorytmu Collatza.<br />
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Fakt 2''' Jeśli hipoteza Collatza jest prawdziwa to istnieje jej dowód w algorytmicznej teorii liczb naturalnych.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Korzystając z rachunku programów tj. logiki algorytmicznej możemy formułę stopu tego programu zapisać tak<br />
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>\bigcup\, \{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \} (\exists k \ n=2^k) </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Stosując wielokrotnie aksjomat Ax21 otrzymamy kolejne równoważne formuły<br />
| + | |
| − | : <math>\begin{array}{l}
| + | |
| − | \bigcup\, \{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \} (\exists k \ n=2^k) \Leftrightarrow \\
| + | |
| − | | + | |
| − | (\exists k \ n=2^k) \lor \\ \qquad \bigcup\, \{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \} \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}(\exists k \ n=2^k)\right ) \Leftrightarrow \\
| + | |
| − | | + | |
| − | (\exists k \ n=2^k) \lor \\ \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}(\exists k \ n=2^k)\right ) \lor \\ \qquad \bigcup\, \{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \} \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}^2 (\exists k \ n=2^k)\right ) \Leftrightarrow \\
| + | |
| − | | + | |
| − | (\exists k \ n=2^k) \lor \\
| + | |
| − | \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}(\exists k \ n=2^k)\right ) \lor \\
| + | |
| − | \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}^2(\exists k \ n=2^k)\right ) \lor \\
| + | |
| − | \qquad \bigcup\, \{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \} \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3*n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}^3 (\exists k \ n=2^k)\right ) \Leftrightarrow \\
| + | |
| − | | + | |
| − | \dots \\
| + | |
| − | | + | |
| − | (\exists k \ n=2^k) \lor \\
| + | |
| − | \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n / 2 \ \mathbf{fi} \}(\exists k \ n=2^k)\right ) \lor \\
| + | |
| − | \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n / 2 \ \mathbf{fi} \}^2(\exists k \ n=2^k)\right ) \lor \\
| + | |
| − | \ \ \ \dots \\
| + | |
| − | \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n \div 2 \ \mathbf{fi} \}^i(\exists k \ n=2^k)\right ) \lor \\
| + | |
| − | \qquad \bigcup\, \{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n / 2 \ \mathbf{fi} \} \left (\{ \mathbf{if}\ n\ is\ odd \ \mathbf{then}\ n \leftarrow 3n+1\ \mathbf{else}\ n\leftarrow n / 2 \ \mathbf{fi} \}^{i+1} (\exists k \ n=2^k)\right ) \Leftrightarrow \\
| + | |
| − | \end{array}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Inspirując się powyższymi równoważnościami przyjmujemy następującą definicję indukcyjną ciągu podzbiorów zbioru <math>N</math><br />
| + | |
| − | <math>S_0=\{n \in N:\,\exists k\,\ n=2^k \}</math><br />
| + | |
| − | <math>S_1=\{n \in N:\,3n+1 \in S_0 \}</math><br />
| + | |
| − | <math>S_2=\{n \in N:\ n/2 \in S_1 \}</math><br />
| + | |
| − | \dots <br />
| + | |
| − | <math>S_{i+1}=\{n \in N:\ n\ \mathrm{jest\ nieparzyste\ i\ }3n+1 \in S_i \ \mathrm{lub\ n\ parzyste \ i\ }n/2 \in S_i \}</math><br />
| + | |
| − | '''Fakt 3'''
| + | |
| − | Hipoteza Collatza jest równoważna następującemu zdaniu<br />
| + | |
| − | :<math>N= \mathop\bigcup_{i=0}^\infty\,S_i </math> <br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Warto zbadać właściwości podzbiorów <math>S_k </math> <br />
| + | |
| − | Zbiór (warstwa) <math>S_0</math> ma oczywiste własności. <br />
| + | |
| − | Kolejna warstwa <math>S_1=\{5, 21,85, 341, \dots \} </math> . Elementy tej warstwy możemy wyznaczyć posługując się następującymi zależnościami <math> a_1=5, \ \ a_{j+1}= 4*a_j+1</math>. <br />
| + | |
| − | Warstwa <math>S_2</math> opisana jest wzorami <math> b_1=10, \ \ b_{j+1}= 2*(4*b_j+1)</math>.<br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Hipoteza Collatza jest równoważna hipotezie następującej:<br />
| + | |
| − | '''Fakt 4''' ''Każda liczba naturalna <math> n </math> jest numerem pary <math>\langle i,j \rangle </math> takiej, że liczba <math> i </math> jest numerem warstwy w której znajduje się liczba <math> n </math>, a <math> j </math> jest numerem liczby <math> n </math> w tej warstwie. ''
| + | |
Wersja z 07:28, 12 wrz 2018
Jest to zalążek dłuższego tekstu.
Algorytmiczna teoria liczb naturalnych, w skrócie arytmetyka algorytmiczna, jest sformalizowaną teorią wyznaczoną przez trójkę [math]\langle \mathcal{L, C, A} \rangle[/math] gdzie
- - [math] \mathcal{L}[/math] jest językiem algorytmicznym. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, funktory: [math] +1, 0 [/math], predykat [math] = [/math] oraz operatory logiczne [math] \lor, \land, \implies. \neg [/math], funktory programotwórcze :=, while do od oraz zbiór symboli pomocniczych: nawiasy, przecinek etc.
- - [math] \mathcal{ C}[/math] jest operacją konsekwencji wyznaczoną przez aksjomaty i reguły wnioskowania logiki algorytmicznej oraz pojęcie dowodu. Operacja konsekwencji przyporzadkowuje każdemu zbiorowi Z formuł zbiór formuł posiadających dowód w oparciu o zbiór Z.
- - [math] \mathcal{A}[/math] jest to zbiór złożony z trzech formuł wyliczonych poniżej
Aksjomaty
algorytmicznej teorii liczb naturalnych:
- (N1) [math]\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]
- (N2) [math]\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]
- (N3) [math]\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ m:=m+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]
Niektóre fakty
Operacje dodawania i mnożenia są programowalne
Algorytm Euklidesa
Jesteśmy szczęśliwi mogąc przedstawić nowy dowód poprawności algorytmu Euklidesa.
Zob. poniższy artykuł Media:On-Euclids-algorithm-2018.pdf.
W wielkim skrócie:
Algorytmiczny aspekt ostatniego twierdzenia Fermata
- Pewien program PF4 ma obliczenie dowolnej długości (tj. zapetla sie).
- Pewien program PF5 zawsze zakończy swe obliczenia.
Oba te fakty sa konsekwencją ostatniego twierdzenia Fermata.
Przyczynki do problemu Collatza
[Media:OnCollatzTheorem.pdf]
