Algorithmic theory of integers

Z Lem
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Integer numbers form a set, usually denoted integer (or Z

). The set contains a non-empty subset N
(of natural numbers) and equipped with two binary operations , of addition and multiplication, usually denoted, +
i
. These operations fulfill the following axioms:

  • (Commutativity) For every pair of integer numbers a,b
    the following equalities hold

a+b=b+a

and ab=ba
,

  • (Associativity) For every triplet of integer numbers a,b,c
    the following equalities hold

(a+(b+c))=((a+b)+c)

and (a(bc))=((ab)c)
,

  • (Distributivity) For every triplet of integer numbers the following equality holds

(a+b)c=ac+bc

  • (Units) There exist integer numbers 0 i 1 such that, for every a
    the following equalities hold

a+0=a

and a1=a
,

  • (Closure in N
    ) If a
    and b
    are non-negative integer numbers then numbers a+b
    and ab
    are also non-negative integer numbers,
  • (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej a
    , istnieje taka liczba całkowita a
    , że zachodzi równość

a+a=0

  • (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej a
    zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba a
    jest nieujemna, albo b) liczba a
    jest zerem a=0
    albo c) liczba a
    jest nieujemna,
  • (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.
  • (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do N
    .

c.d.n.