Algorithmic theory of integers

Liczby całkowite tworzą zbiór oznaczany integer (lub

$$Z$$ ), razem z niepustym podzbiorem $$N$$ (liczb całkowitych nieujemnych) i z dwoma operacjami dwuargumentowymi dodawania i mnożenia, oznaczanymi przez $$+$$ i $$\cdot$$ , które spełniają następujące aksjomaty:

• (Commutativity) For every pair of integer numbers $$a, b$$ the following equalities hold

$$a+b=b+a\qquad$$ and $$\qquad a\cdot b = b \cdot a$$ ,

• (Associativity) For every triplet of integer numbers $$a,b, c$$ the following equalities hold

$$(a+(b+c))=((a+b)+c) \qquad$$ and $$\qquad (a\cdot(b\cdot c))=((a\cdot b)\cdot c)$$ ,

• (Distributivity) For every triplet of integer numbers the following equality holds

$$(a+b)\cdot c =a\cdot c + b\cdot c$$

• (Jedności) Istnieją liczby całkowite 0 i 1 takie, że dla każdego $$a$$ zachodzi równość

$$a+0=a\qquad$$ oraz $$\qquad a\cdot 1= a$$ ,

• (Domknięcie w $$N$$ ) Jeśli $$a$$ i $$b$$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi to liczby $$a+b$$ oraz $$a\cdot b$$ też są liczbami całkowitymi, nieujemnymi,
• (Addytywna odwrotność) Dla każdej liczby całkowitej $$a$$ , istnieje taka liczba całkowita $$-a$$ , że zachodzi równość

$$a+-a =0$$

• (Trichotomia) Dla każdej liczby całkowitej $$a$$ zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji: albo a) liczba $$a$$ jest nieujemna, albo b) liczba $$a$$ jest zerem $$a=0$$ albo c) liczba $$-a$$ jest nieujemna,
• (Liczby całkowite nieujemne) Zbiór liczb całkowitych nieujemnych spełnia aksjomaty liczb naturalnych, to jest ten sam zbiór.
  
• (Definicja porządku) a < b wtedy i tylko wtedy gdy b+-a należy do $$N$$ .

c.d.n.