Arytmetyka Algorytmiczna

Aksjomaty algorytmicznej teorii liczb naturalnych:

(N1) [math]\color{blue} (\forall n) (n+1 \neq 0 ) [/math]

(N2) [math]\color{blue} (\forall n)(\forall m)(n+1=m+1 \Rightarrow n=m)[/math]

(N3) [math]\color{blue} (\forall n)[m:=0; \mathbf{while}\ m \neq n\ \mathbf{do}\ n:=n+1\ \mathbf{od}](m=n)[/math]

Niektóre fakty

Operacje dodawania i mnożenia są programowalne

Algorytm Euklidesa

• Fakt Jego własność stop nie wynika z aksjomatów Peano, ponieważ algorytm zapętla się w modelu (niestandardowym) arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem.
• Twierdzenie Formuła stopu algorytmu Euklidesa jest twierdzeniem arytmetyki algorytmicznej.

Formuła ta, jak i formuła wyrażająca poprawność algorytmu Euklidesa, dają się wyprowadzić z aksjomatów algorytmicznej arytmetyki, zob. analiza algorytmu Euklidesa.

Algorytmiczny aspekt ostatniego twierdzenia Fermata

• Pewien program PF4 ma obliczenie dowolnej długości (tj. zapetla sie).

• Pewien program PF5 zawsze zakończy swe obliczenia.

Oba te fakty sa konsekwencją ostatniego twierdzenia Fermata.

Problem Collatza

L. Collatz sformułował swoją hipotezę w r. 1937, do dzisiaj nie znamy dowodu tej tezy ani kontrprzykladu.

[math](\forall n)\left \{ \begin{array}{l} \mathbf{while}\ n\neq 1\\ \mathbf{do}\\ \quad \mathbf{if}\ n\ is\ odd\\ \quad \mathbf{then}\\ \qquad n := 3*n+1\\ \quad \mathbf{else}\\ \qquad n:= n \div 2\\ \quad \mathbf{fi}\\ \mathbf{od}\end{array}\right\} (n=1) [/math]

co czytamy: dla każdego n, powyżej podany program (Collatza) kończy swoje obliczenia. Istnieje obszerna literatura tego zagadnienia. Ustanowiono nagrodę pieniężną za rozwiązanie problemu.

Spostrzeżenie

Fakt W modelu niestandardowym arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem algorytm Collatza ma obliczenia nieskończone.

Fakt Jeśli hipoteza Collatza jest prawdziwa to istnieje dowód w algorytmicznej teorii liczb naturalnych.