Collatz: Różnice pomiędzy wersjami
(→Formuła stopu) |
(→Formuła stopu) |
||
| Linia 39: | Linia 39: | ||
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ | \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ | ||
\mathbf{fi} \end{array} }^{K}\right\} (n=1) </math> <br/> | \mathbf{fi} \end{array} }^{K}\right\} (n=1) </math> <br/> | ||
| − | {co się czyta: ''istnieje taka iteracja ,<math>K^i</math> programu <math>K</math>, że po wykonaniu <math>K^i</math> | + | {co się czyta: ''istnieje taka iteracja ,<math>K^i</math> programu <math>K</math>, że po wykonaniu <math>K^i</math> spełniona jest równość'' <math>n=1</math> .} <br/> |
| + | Inaczej mówiąc, mamy do czynienia z kresem górnym wartości formuł <math>K^i(n=1)</math>, gdzie <math>i= 0,1,2 \dots</math>.<br /> | ||
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: nalezy przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.<br/> | Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: nalezy przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.<br/> | ||
Wersja z 19:17, 11 sie 2023
Nareszcie!
Praca nad problemem trwała 83 lata.
Udało się. Zmieniamy statut hipotezy Collatza na twierdzenie Collatza.
Wersja z 5 czerwca 2022 twierdzenie Collatza przedłozona do TCS Journal .
Skróconą i niezbyt formalną wersję dowodu znajdziesz w tym miejscu.
Spis treści
- 1 Wprowadzenie
- 2 Nasze spostrzeżenia z r. 2004
- 3 Poprawne sformułowanie tezy Collatza
- 4 Formuła stopu
- 5 Elementarna teoria dodawania liczb naturalnych
- 6 Algorytmiczna teoria liczb naturalnych
- 7 Analiza formuły stopu
- 8 Trójki
- 9 Drzewo Collatza
- 10 Własności obliczeń na trójkach
- 11 Archiwum kolejnych wersji pracy
Wprowadzenie
Rozpatrzmy zdanie
dla każdej liczby naturalnej [math]n[/math], poniższy program [math]Cl [/math] ma obliczenie sończone
[math]\color{blue}\qquad Cl:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{od} \end{array}\right\} [/math]
Zaczynamy od uwagi, że prawdziwośc powyższego zdania pociaga za sobą prawdzowość tezy Collatza, tak jak ona została sformułowana przed II wojną światową.
Ale w r.1937 nie istniały komputery ani języki programowania
.Z drugiej strony istniała i była już mocno rozwinięta teoria algorytmów. Teorię funkcji rekurencyjnych rozwijanow w Getyndze (David Hilbert i jego uczniowie), Budapeszcie (Rozsza Pterer, Laszlo Kalmar), ...
W Londynie Alan Turing stworzył abstrakcyjną maszynę Turinga.
W Moskwie Kołmogorow i w Kazaniu Malcew badali pojęcie funkcji obliczalnej.
W Warszawie Alfred Tarski wraz z uczniami Mojżeszem Presburgerem, Stanisławem Jaskowskim uzyskali ważne wyniki dotycące teorii dodawania liczb naturalnych.
Nasze spostrzeżenia z r. 2004
- Algorytm Collatza [math]Cl[/math] nie potrzebuje operacji mnożenia ani dzielenia. Wystarczy mnożenie przez 3 ( bo 3x=x+x+x) i dzielenia przez 2 ( prosty algorytm dodający co drugą jedynkę wystarczy),
- W strukturze algebraicznej [math]\mathfrak{M}[/math], która jest niestandardowym modelem elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych (jest taka, zobacz poniżej) algorytm [math]Cl[/math] ma dla wielu argumentów obliczenie nieskończone.
- A więc tezy Collatza nie można udowodnić na podstawie aksjomatów elementarnej teorii dodawania liczb naturalnych,
- Co więcej, w języku elementarnej teorii dodawania nie istnieje formuła stopu dl algorytmu Collatza!. Czego więc mamy dowieść?
Poprawne sformułowanie tezy Collatza
W standardowej strukturze liczb naturalnych z operacją dodawania nasz program [math]Cl[/math] ma dla każdego argumentu n obliczenie skończone.
Formuła stopu
Należy zatem stworzyć formułę [math]\theta[/math] (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu [math]Cl[/math] jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.
,[math]\qquad \theta:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{od} \end{array}\right\} (n=1) [/math]
Wartość formuły [math]\theta[/math] zleży tylko od początkowej wartości zmiennej "n". Formuła ta jest spełniona przez wartość zmiennej "n" wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu while ... jest skończone i końcowa wartość zmiennej "n" jest równa 1.
Można też rozważać inne formuły, np,
,[math]\qquad \xi:\,\bigcup \left\{\overbrace{\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n \neq 0 \ \mathbf{then} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{fi} \end{array} }^{K}\right\} (n=1) [/math]
{co się czyta: istnieje taka iteracja ,[math]K^i[/math] programu [math]K[/math], że po wykonaniu [math]K^i[/math] spełniona jest równość [math]n=1[/math] .}
Inaczej mówiąc, mamy do czynienia z kresem górnym wartości formuł [math]K^i(n=1)[/math], gdzie [math]i= 0,1,2 \dots[/math].
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: nalezy przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.
Elementarna teoria dodawania liczb naturalnych
Poprzednia obserwacja stwierdzająca, że w tej teorii nie można przeprowadzić dowodu tezy Collatza pozostaje w mocy. Jednak, w dalszych rozważaniach pomocne będą własności niestandardowego modelu tej teorii a także parę twierdzeń tej teorii.
Teoria ta jest wyznaczona przez podanie trzech składników: języka, logiki czyli operacji konsekencji oraz aksjomatów specyficznych dla tej teorii.
Język. Wyrażenia języka zbudowane są z następujących symboli: symbole zmiennych np. x,y,n, symbou + dwuargumentoweji operacji, symbolu = dwuargumentowej relacji, symboli 0,1 stałych i symboli funktorów logicznych oraz symboli pomocniczych np. nawiasy
.
Przykładami wyrażeń są ...
Logika. Operacja konsekwencji (wnioskowania) jest wyznaczona przez podanie aksjomatów logiki pierwszego rzędu i reguł wnioskowania.
Aksjomaty.
Modele arytmetyki Presburgera Zgodnie z przewidywaniami ciąg standardowych wartości 0,1,2,3, ... jest modelem tej teorii.
Stanisław Jaśkowski in 1929 odkrył inny,niestandardowy model arytmetyki Presburgera.
The universe of the model is a subset of the set of complex numbers [math]a+\imath b[/math] where [math]a \in \mathbb{Z} [/math] i.e. a is an integer number and [math]b \in \mathbb{Q}^+ [/math] is a positive rational number. Additionally, whenever [math]b=0 [/math] we have [math]a\gt0[/math]. Addition is defined as usual addition of complex numbers.
Oba modele są obliczalne. Istnieją też modele nieobliczalne, dowolnie wysokiej mocy.
Algorytmiczna teoria liczb naturalnych
- Język. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, np. x,y. funktor + dwiargumentowego działania dodawania, dwie stałe 0 i 1, znak relacji = równości.
Termy (tj. wyrażenia nazwowe: jest to najmniejszy zbiór wyrażeeń zawierający zmienne, stałe i zamknięty ze wzgledu na lączenie dwu termów w ten sposób (t1 + t2).
Formuły.
- Logika. Rachunek programów. Rachunek programów zawiera w sobie logikę pierwszego rzędu. Język rachunku programów oprócz formuł pierwszego rzędu zaiera formuły algorytmiczne. Najprostsza taka formuła to napis składający się z programu i następującej po nim formuły (zwykle formuły pierwszego rzędu).
Do aksjomatów logiki pierszego rzędu należy dodać aksjomaty opisujące własności spójników programotwórczych, zob. Logika algorytmiczna.
Do reguł wnioskowania logiki pierwszego rzędu należy dodać reguły specyficzne dla rachunku programów.
- Aksjomaty teorii.
Tylko trzy formuły.
[math]
\begin{eqnarray}
\tag{ATN1} \forall_x\, x+1 \neq 0 &&\\
\tag{ATN2} \forall_{x,y}\,x+1=y+1 \implies x=y &&\\
\tag{ATN3}\forall_x\, \{y :=0; \mathbf{while}\ y\neq x\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{od} \}\,(y=x) &&
\end{eqnarray} [/math]
Są to właściwie aksjomaty teorii następnika.
Formuła ATN1 stwierdza, że 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
Formuła ATN2 stwierdza, że następnik jest funkcją róznowartosciową.
Formuła ATN3 stwierdza, że każda liczba naturalna jest osiągalna z zera przez dodanie skończonej liczby jedynek.
W tej teorii można napisać definicje działań dodawania, mnożenia i każdej funkcji obliczalnej.
Analiza formuły stopu
xxx
Trójki
Spostrzeżenie (wynikłe z przygladania się formule stopu).
[math]\forall_{n \neq 0} \exists_{x,y,z}\ n \cdot 3^x+y=2^z [/math]
Drzewo Collatza
xxx
Własności obliczeń na trójkach
Archiwum kolejnych wersji pracy
[CollatzConjecturebecomesTheorem11Aug23 http://lem12.uksw.edu.pl/images/3/3b/CollatzConjecturebecomesTheorem11Aug23.pdf]
