Collatz theorem
Collatz conjecture is valid in the standard structure of natural numbers, therefore it is Collatz theorem .
Finally!
Many people worked on the Collatz problem for more than 83 years.
We succeeded. The statute of 'Collatz conjecture" is now Collatz theorem.
Here is a version of June 5, 2022 theorem of Collatz submitted to TCS Journal .
An abridged version of the proof is here.
Spis treści
ntroduction
Rozpatrzmy zdanie
dla każdej liczby naturalnej [math]n[/math], poniższy program [math]Cl [/math] ma obliczenie sończone
[math]\color{blue}\qquad Cl:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{od} \end{array}\right\} [/math]
Zaczynamy od uwagi, że prawdziwośc powyższego zdania pociaga za sobą prawdzowość tezy Collatza, tak jak ona została sformułowana przed II wojną światową.
Ale w r.1937 nie istniały komputery ani języki programowania
.Z drugiej strony istniała i była już mocno rozwinięta teoria algorytmów. Teorię funkcji rekurencyjnych rozwijanow w Getyndze (David Hilbert i jego uczniowie), Budapeszcie (Rozsza Pterer, Laszlo Kalmar), ...
W Londynie Alan Turing stworzył abstrakcyjną maszynę Turinga.
W Moskwie Kołmogorow i w Kazaniu Malcew badali pojęcie funkcji obliczalnej.
W Warszawie Alfred Tarski wraz z uczniami Mojżeszem Presburgerem, Stanisławem Jaskowskim uzyskali ważne wyniki dotycące teorii dodawania liczb naturalnych.
Remark made in 2004
- The Collatz algorithm does not require operations of multiplication and division. For the operation of multiplying by 3 is done as x+x+x. Division by 2 is done by an auxiliary algorithm.
- In the non-standard model of elementary theory of addition of natural numbers (best known as Presburger arithmetic) the computation of Collatz algorithm [math]Cl[/math] is infinite for every unreachable number [math]n[/math].
- Hence, Collatz conjecture is unprovable in the elementary theory of addition of natural numbers.
- Moreover, the halting property of Collatz algorithm is not expressible in the language of first-order theory of addition of natural numbers (aka Presburger arithmetic).
Collatz thesis reformulate
W standardowej strukturze liczb naturalnych z operacją dodawania nasz program ma obliczenie skończone, dla każdego argumentu n..
Halting formula
Należy zatem stworzyć formułę [math]\theta[/math] (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu [math]Cl[/math] jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.
,[math]\qquad \theta:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{od} \end{array}\right\} (n=1) [/math]
Można też rozważać inne formuły, np,
,[math]\qquad \xi:\,\bigcup \left\{K:\,\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n \neq 0 \ \mathbf{then} \\
\quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\
\mathbf{fi} \end{array}\right\} (n=1) [/math]
{co się czyta: istnieje taka iteracja ,[math]K^i[/math] programu [math]K[/math], że po wykonaniu [math]K^i[/math] zachodzi równość [math]n=1[/math] .}
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: nalezy przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.
Elementary theory od addition of natural numbers and its models
Poprzednia obserwacja stwierdzająca, że w tej teorii nie można przeprowadzić dowodu tezy Collatza pozostaje w mocy. Jednak, w dalszych rozważaniach pomocne będą własności niestandardowego modelu tej teorii a także parę twierdzeń tej teorii.
Teoria ta jest wyznaczona przez podanie trzech składników: języka, logiki czyli operacji konsekencji oraz aksjomatów specyficznych dla tej teorii.
Język. Wyrażenia języka zbudowane są z następujących symboli: symbole zmiennych np. x,y,n, symbou + dwuargumentoweji operacji, symbolu = dwuargumentowej relacji, symboli 0,1 stałych i symboli funktorów logicznych oraz symboli pomocniczych np. nawiasy
.
Przykładami wyrażeń są ...
Logika. Operacja konsekwencji (wnioskowania) jest wyznaczona przez podanie aksjomatów logiki pierwszego rzędu i reguł wnioskowania.
Aksjomaty.
Nonstandard model of Presburger arithmetic was invented by Stanisław Jaśkowski in 1929.
The universe of the model is a subset of the set of complex numbers [math]a+\imath b[/math] where [math]a \in \mathbb{Z} [/math] i.e. a is an integer number and [math]b \in \mathbb{Q}^+ [/math] is a positive rational number, with usual addition of complex numbers.
Algorithmic theory of natural numbers
- Język. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, np. x,y. funktor + dwiargumentowego działania dodawania, dwie stałe 0 i 1, znak relacji = równości.
Termy (tj. wyrażenia nazwowe: jest to najmniejszy zbiór wyrażeeń zawierający zmienne, stałe i zamknięty ze wzgledu na lączenie dwu termów w ten sposób (t1 + t2).
Formuły.
- Logika. Rachunek programów. Rachunek programów zawiera w sobie logikę pierwszego rzędu. Język rachunku programów oprócz formuł pierwszego rzędu zaiera formuły algorytmiczne. Najprostsza taka formuła to napis składający się z programu i następującej po nim formuły (zwykle formuły pierwszego rzędu).
Do aksjomatów logiki pierszego rzędu należy dodać aksjomaty opisujące własności spójników programotwórczych, zob. Logika algorytmiczna.
Do reguł wnioskowania logiki pierwszego rzędu należy dodać reguły specyficzne dla rachunku programów.
- Aksjomaty teorii.
Tylko trzy formuły.
[math]
\begin{eqnarray}
\tag{ATN1} \forall_x\, x+1 \neq 0 &&\\
\tag{ATN2} \forall_{x,y}\,x+1=y+1 \implies x=y &&\\
\tag{ATN3}\forall_x\, \{y :=0; \mathbf{while}\ y\neq x\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{od} \}\,(y=x) &&
\end{eqnarray} [/math]
Są to właściwie aksjomaty teorii następnika.
Formuła ATN1 stwierdza, że 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
Formuła ATN2 stwierdza, że następnik jest funkcją róznowartosciową.
Formuła ATN3 stwierdza, że każda liczba naturalna jest osiągalna z zera przez dodanie skończonej liczby jedynek.
W tej teorii można napisać definicje działań dodawania, mnożenia i każdej funkcji obliczalnej.
Analiza formuły stopu
xxx
Triples
Spostrzeżenie (wynikłe z przygladania się formule stopu).
[math]\forall_{n \neq 0} \exists_{x,y,z}\ n \cdot 3^x+y=2^z [/math]
Collatz tree
xxx
