# Collatz theorem: Różnice pomiędzy wersjami

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Collatz conjecture is valid in the standard structure of natural numbers, therefore it is Collatz theorem .

Finally!
Many people worked on the Collatz problem for more than 83 years.
We succeeded. The statute of 'Collatz conjecture" is now Collatz theorem.
Here is a version of June 5, 2022 theorem of Collatz submitted to TCS Journal .
An abridged version of the proof is here.

## ntroduction

Consider the following sentence
for every natural number $n$, the program $Cl$ has the finite computation
$\color{blue}\qquad Cl:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\ \quad \mathbf{if}\ odd(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ \mathbf{od} \end{array}\right\}$
Note, the truthfulness of the above sentence implies the truthfulness of Collatz's thesis, as it was formulated before World War II, in 1937..
But then there were no computers or computer programming languages
On the other hand, there was and was already a highly developed theory of algorithms. The theory of recursive functions was developed in Göttingen (David Hilbert and his students), Budapest (Rozsza Pterer, Laszlo Kalmar), ...
In Princeton, Alonzo Church published papers on $\lambda$-calculus. In London, Alan Turing created the abstract Turing machine.
In Moscow, Kolmogorov and in Kazan, Maltsev studied the concept of a computable function.

In Warsaw, Alfred Tarski and his students Mojżesz Presburger and Stanisław Jaskowski obtained important results on the theory of adding natural numbers.

• The Collatz algorithm does not require operations of multiplication and division. For the operation of multiplying by 3 is done as x+x+x. Division by 2 is done by an auxiliary algorithm.
• In the non-standard model of elementary theory of addition of natural numbers (best known as Presburger arithmetic) the computation of Collatz algorithm $Cl$ is infinite for every unreachable number $n$.
• Hence, Collatz conjecture is unprovable in the elementary theory of addition of natural numbers.
• Moreover, the halting property of Collatz algorithm is not expressible in the language of first-order theory of addition of natural numbers (aka Presburger arithmetic).

## Collatz thesis reformulated

In the standard model of natural numbers with addition the Collatz algorithm $CL$ for every number $n$ terminates.
But, how to describe standard model up to isomorphisms?

## Halting formula

Należy zatem stworzyć formułę $\theta$ (wyrażenie logiczne) taką, że przyjmuje ona wrtośc prawda wtedy i tylko wtedy gdy obliczenie programu $Cl$ jest skończone. Takich formuł jest wiele w języku urachunku programów, tj. logiki algorytmicznej.
,$\qquad \theta:\,\left\{\begin{array}{l} \mathbf{while}\ n \neq 0 \ \mathbf{do} \\ \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ \mathbf{od} \end{array}\right\} (n=1)$
Można też rozważać inne formuły, np,
,$\qquad \xi:\,\bigcup \left\{K:\,\begin{array}{l} \mathbf{if}\ n \neq 0 \ \mathbf{then} \\ \quad \mathbf{if}\ nieparzyste(n) \ \mathbf{then}\ n:=3n+1 \ \mathbf{else}\ n:=n/2\ \mathbf{fi} \\ \mathbf{fi} \end{array}\right\} (n=1)$
{co się czyta: istnieje taka iteracja ,$K^i$ programu $K$, że po wykonaniu $K^i$ zachodzi równość $n=1$ .}
Druga część zadania jest znacznie trudniejsza: nalezy przeprowadzić dowód formuły stopu posiłkując się aksjomatami rachunku programów i aksjomatami algorytmicznej teorii liczb naturalnych.

## Elementary theory od addition of natural numbers and its models

Poprzednia obserwacja stwierdzająca, że w tej teorii nie można przeprowadzić dowodu tezy Collatza pozostaje w mocy. Jednak, w dalszych rozważaniach pomocne będą własności niestandardowego modelu tej teorii a także parę twierdzeń tej teorii.

Teoria ta jest wyznaczona przez podanie trzech składników: języka, logiki czyli operacji konsekencji oraz aksjomatów specyficznych dla tej teorii.
Język. Wyrażenia języka zbudowane są z następujących symboli: symbole zmiennych np. x,y,n, symbou + dwuargumentoweji operacji, symbolu = dwuargumentowej relacji, symboli 0,1 stałych i symboli funktorów logicznych oraz symboli pomocniczych np. nawiasy

Logika. Operacja konsekwencji (wnioskowania) jest wyznaczona przez podanie aksjomatów logiki pierwszego rzędu i reguł wnioskowania.
Aksjomaty.

Nonstandard model of Presburger arithmetic was invented by Stanisław Jaśkowski in 1929.

Nonstandard model of Presburger arithmetic

The universe of the model is a subset of the set of complex numbers $a+\imath b$ where $a \in \mathbb{Z}$ i.e. a is an integer number and $b \in \mathbb{Q}^+$ is a positive rational number. Additionally, whenever $b=0$ we have $a\gt0$. Addition is defined as usual addition of complex numbers.

## Algorithmic theory of natural numbers

• Język. Alfabet języka zawiera zbiór zmiennych, np. x,y. funktor + dwiargumentowego działania dodawania, dwie stałe 0 i 1, znak relacji = równości.

Termy (tj. wyrażenia nazwowe: jest to najmniejszy zbiór wyrażeeń zawierający zmienne, stałe i zamknięty ze wzgledu na lączenie dwu termów w ten sposób (t1 + t2).
Formuły.

• Logika. Rachunek programów. Rachunek programów zawiera w sobie logikę pierwszego rzędu. Język rachunku programów oprócz formuł pierwszego rzędu zaiera formuły algorytmiczne. Najprostsza taka formuła to napis składający się z programu i następującej po nim formuły (zwykle formuły pierwszego rzędu).

Do aksjomatów logiki pierszego rzędu należy dodać aksjomaty opisujące własności spójników programotwórczych, zob. Logika algorytmiczna. Do reguł wnioskowania logiki pierwszego rzędu należy dodać reguły specyficzne dla rachunku programów.

• Aksjomaty teorii.

Tylko trzy formuły.
$\begin{eqnarray} \tag{ATN1} \forall_x\, x+1 \neq 0 &&\\ \tag{ATN2} \forall_{x,y}\,x+1=y+1 \implies x=y &&\\ \tag{ATN3}\forall_x\, \{y :=0; \mathbf{while}\ y\neq x\ \mathbf{do}\ y:=y+1\ \mathbf{od} \}\,(y=x) && \end{eqnarray}$

Są to właściwie aksjomaty teorii następnika.
Formuła ATN1 stwierdza, że 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
Formuła ATN2 stwierdza, że następnik jest funkcją róznowartosciową.
Formuła ATN3 stwierdza, że każda liczba naturalna jest osiągalna z zera przez dodanie skończonej liczby jedynek.
W tej teorii można napisać definicje działań dodawania, mnożenia i każdej funkcji obliczalnej.

xxx

## Triples

Spostrzeżenie (wynikłe z przygladania się formule stopu).

$\forall_{n \neq 0} \exists_{x,y,z}\ n \cdot 3^x+y=2^z$

xxx