Logika Algorytmiczna

Logika algorytmiczna jest rachunkiem logicznym. Język logiki algorytmicznej zawiera programy i formuły algorytmiczne. Formuły tworzą algebrę z działaniami: konkatenacji, alternatywy, negacji i implikacji oraz z działaniami nieskończonymi tj kwantyfikatorami, ponadto programy są modalnościami. Programy też tworzą algebrę: działaniami tej algebry są iteracja, rozgałęzienie i złożenie programów. Mamy więc do czynienia ze splotem dwu algebr. Możemy go nazwać rachunkiem programów. Zadaniem logiki algorytmicznej jest poszukiwanie praw rachunku programów.

Celem jest zebranie praw i reguł wnioskowania, które umożliwią analizę algorytmów i wydawanie opinii o ich własnościach semantycznych, bez wykonywania obliczeń, na podstawie samego tekstu algorytmu i aksjomatów struktury danych w jakiej dany program ma byc interpretowany.

Przykład Rozpatrzmy prosty program

   (* Dane:  x>0  i  y>0  liczby naturalne *)
   Deklaracje:  typ(x, y, n, m, r, q, max)=N &  typ(n\_mniejsze)=Boolean 
   (* Wynik:  nwd(x,y)   *)
   n:=x; m:=y;
   while n ≠ m do
      Oznaczenie niech\ l=max(n,m)
      r:=0; 
      while r ≠n and r ≠m do  r:=r+1  od; 
      if r=n then n_miejsze:=true; max:=m else n_mniejsze:=false; max:=n fi; 
      Stwierdzenie (n<m & m=max(n,m) lub m<n & n=max(n,m))
      q:=0; 
      while r≠max  do  r:= r+1; q:=q+1  od; 
      Stwierdzenie q = |m-n| & (1 ≤ q < max(n,m))& r=max(n,m)
      if n_mniejsze then m:=q else n := q fi 
      Stwierdzenie max(n,m) <  l
  od ( wynik = n) 

Co robi ten program? Czy to jest pytanie dobrze postawione? Czy obliczenie tego programu jest skończone dla każdych danych n i m? Czym są te dane? Jakie znaczenie mają operacje - i + oraz stała 1? Jakie znaczenie ma predykat <?

Wiele osób powie,że przeciez to proste. Powyższy program oblicza największy wspólny dzielnik liczb naturalnych x i y. No tak, ale skąd wiesz, że środowisko w którym wykonujesz ten program nie jest podejrzane? Na kolejnej stronie możesz zobaczyć klasę która implementuje operacje dodawania liczb naturalnych i relację równości w niestandardowy sposób. Powyzszy program w otoczeniu tej klasy zachowuje się niestandardowo. Po pierwsze, obliczenia tego programu sa nieskończone dla pewnych danych. Powiesz mi, ta klas nie spełnia aksjomatów liczb naturalnych? Otóż spełnia. Jakie więc aksjomaty należy wziąc pod uwagę i o co mamy pytać?

Zanim zaczniesz analizować działanie programu powinieneś zdać sobie sprawę z kilku rzeczy:

1. Program zachowuje się różnie w różnych otoczeniach. Czym jest otoczenie? To zależy, może to być pierwotny typ danych np. integer w wielu językach programowania lub struktura danych opisana za pomocą pewnej klasy.
2. Podczas analizy powinniśmy rozpatrywac program P w parze z jego otoczeniem E. Podczas analaizy nie wystarczy nam nazwa otoczenia, ani sygnatura nazywana przez programistów interfejsem (ang, interface).
3. W procesie analizy musimy korzystać z własności otoczenia np. z przemienności i łączności dodawania.
4. Musimy sobie zadawać sprawe, że wielu podstawowych własności nie da się wyrazić formułami pierwszego rzędu.
5. Własności algorytmiczne naszych programów wynikają z własności algorytmicznych otoczenia.

Zechciej przejść na stronę Euklides by poznać nasze argumenty.

Program logiki algorytmicznej

Zadaniem logiki algorytmicznej jest dostarczenie narzędzi do analizowania semantycznych własności programów takich jak: własność stopu, poprawność programu, etc. Znaczeniem programu [math]P[/math] jest funkcja ze zbioru [math]W[/math] wartościowań zmiennych w ten sam zbiór. Zazwyczaj funkcję tę określa się przy pomocy pojęcia obliczenia programu.

Bibliografia

1. [AlgoLog] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Algorithmic Logic. Warszawa: PWN, 1987, s. 345.
2. [LogProg] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Logika Algorytmiczna dla Programistów. Warszawa: WNT, 1992, s. 294. cz.1
3. [LogProg] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Logika Algorytmiczna dla Programistów. Warszawa: WNT, 1992, s. 294. cz.1
4. [AL4software] Grażyna Mirkowska, Andrzej Salwicki: Algorithmic Logic for Software Construction and Verification. Dąbrowa Leśna: Dąbrowa Research, 2014, s. 154.